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?i??wi??*??0?i??wi??*??122?*???*X)(?1) ?2?wi(Yi??01i?*???*X)(?X) ?2?wi(Yi??01ii令上式为零，即得以下两个正规方程：
?*wY???iii0?w???1*?*XiYi??0?w????wX?wX????wi*1iii*12iii Xi
2（注意这两个正规方程与不加权的最小二乘正规方程的相似性），解该方程可得：
(?wi)(?wiXiYi)?(?wiXi)(?wiYi)(?wi)(?wiX)?(?wiXi)2
即为参数?1的加权最小二乘估计量。
⒌解：①居民人均消费性支出与可支配收入的线性方程如下所示：
??272.3635?0.7551X Yii （1.706） （32.387） R2?0.9832
②White 检验
因为，检验统计量的值为12.652132,查?2分布表可得
?0.05(2)?5.99,12.65213?5.99，因而拒绝原假设，认为模型存在异方差性。
③采用加权最小二乘法估计得到的回归方程为：
??415.6603?0.7290X Yii （3.553） （32.503） R2?0.9999
可以看出，加权最小二乘估计的结果与不加权最小二乘估计的结果有较大的区别。
第六章 自相关性
本章练习题解答
⒈答：模型的序列相关性违背的基本假定是Cov(?i,?j)?0(i?j),出现了
Cov(?i,?j)?0(i?j)。
序列相关的来源有：①经济变量固有的惯性；②模型设定的偏误；③模型中遗漏了重要的带有自相关的解释变量；④数据的“编造”。
序列相关的检验有：①图示法，适合于大致判断是否存在序列相关；②D?W检验，适合于检验一阶自回归形式的序列相关；③回归检验法，适合于各种类型的序列相关检验；④拉格朗日乘数（LM）检验，适合于高阶序列相关及模型中存在滞后被解释变量的情形。
⒉答：由于自相关性，相对于不同的样本点，随机干扰项之间不再是相互独立的，而是存在相关关系，那么检验自相关性，首先根据OLS法估计残差，将残差作为随机干扰项的近似估计值，然后检验这些近似估计值之间的相关性以判定随机干扰项是否存在序列相关。各种检验方法就是在这个思路下发展起来的。
⒊答：与异方差带来的后果类似，当模型存在序列相关时，根据普通最小二乘法估计出的参数估计量仍具有线性和无偏性，但不再具有有效性；用于参数显著性检验的统计量，要涉及到参数估计量的标准差，因而参数检验也失去意义；相应的模型预测功能也就失效了。
⒋答：①由于样本容量n?22，解释变量个数k?3，在5%的显著性水平下，相应的上下临界值为dl?1.053,du?1.664。由于DW?1.147位于这两个值之间，所以D?W检验是无定论的。
②进行LM检验：
~； i.做Y关于常数项、lnX1、lnX2和lnX3的回归并保存残差项et~的回归并计算2； ~关于常数项、lnX、lnX和lnX及eii.做eRt?1t312iii.计算检验统计量LM?(n?1)R?21?0.996?20.916；
iv.由于在不存在一阶序列相关的零假设下，(n?1)R2服从自由度为1的?2分布。在
5%的显著性水平下，该分布的相应临界值为3.841,由于20.916?3.841，因而拒绝零假设，意味着原模型随机干扰项存在一阶序列相关。
⒌答：①对于方程A，样本容量n?16，解释变量个数k?1，在5%的显著性水平下，查D.W.临界值表得：dl?1.10,du?1.37，D.W.?0.8252?dl?1.10，根据判定规则可知存在正的一阶自相关；
对于方程B，样本容量n?16，解释变量个数k?2，在5%的显著性水平下，查D.W.临界值表得：dl?0.98,du?1.54，du?D.W.?1.82?4?du，根据判定规则可知不存在正自相关。
②第二个模型中加入了时间的平方项，自相关消失，因此自相关产生的原因是模型形式误设引起的。
③若自相关是由模型误设造成的，可以改变模型函数形式，并估计模型，然后根据模型的D.W.值判定是否消除了自相关。模型的函数形式可依据经济理论或解释变量与被解释变量的散点图来确定。若新模型的D.W.检验显示模型不在存在一阶序列相关，则可以认为原来模型的自相关是模型误设引起的，反之则可以认为是“纯粹”的自相关。
⒍解：①建立对数模型的好处有两点:一是可以消除模型中的存在的异方差,二是参数为弹性系数,无量纲便于比较。应用TSP软件，可得回归方程为：
2???8.2155?1.4401X R2?0.9865 lnYtt (?22.16)(40.16) D.W.?0.732
②D?W检验的结果显示，该回归方程的D.W.统计量的值为0.732。在5%的显著性水平下，查D.W.临界值表得：dl?1.27，D.W.?0.732?dl?1.27，根据判定规则可知存在正的一阶自回归形式的序列相关。
③首先，估计模型：
???(1??)??lnY??lnX???lnX lnYt0t?11t1t?1利用TSP软件，可得估计的方程如下：
???4.7214?0.4054lnY?0.0624lnX?0.7963lnX R2?0.9951 lnYtt?1tt?1 (?4.10) (2.84) (0.15) (1.54)
其次，应用估计的??0.4054作广义差分变换：
lnYt?lnYt?0.4054lnYt?1 lnXt?lnXt?0.4054lnXt?1
**估计下面的模型：
lnYt??0??1lnXt??t
***利用TSP软件，可得如下方程：
?*??5.1052?1.4736lnX* R2?0.9761 lnYtt (?16.23) (29.26) D.W.?1.45
在5%的显著性水平下，查D.W.临界值表得：dl?1.26,du?1.44，D.W.统计量落在区间(du,4?du)上，根据判定规则可知不存在一阶自回归形式的序列相关。
④利用TSP的AR(1)项进行广义差分变换，可得广义最小二乘估计结果为：
???8.6918?1.4826lnX?0.5745AR(1) lnYtt (?11.01) (20.23) (3.43)
D.W.?1.73 R2?0.9919
可以看出，两种方法的估计结果相差不大，仅是截距项有小的差别。
参数估计值?8.6918是回归方程的截距项，无实际经济意义；1.4826表示债券发行规模对GDP的弹性，即当国内生产总值增加1%时，债券发行规模将增加1.4826%；0.5745表示的是随机干扰项一阶序列相关的相关系数估计值。
⒎解：①应用TSP软件，可得回归结果。结果显示，该回归方程的DW统计量的值为0.45。在5%显著性水平下，样本容量为21的DW分布的下限临界值为dL?1.22。因为
DW=0.45 ②方法一：杜宾两步法 首先，估计模型： lnYt??lnYt?1??0(1??)??1(lnXt??lnXt?1) 利用TSP软件，可得估计的方程如下： ??0.4456?0.6319lnYlnYtt?1?0.4704lnXt?0.1322lnXt?1 2 （2.957）(7.490) (6.043) (-1.259) R?0.9986 其次，将估计的??0.6319带入下面的模型： lnYt??lnYt?1??0(1??)??1(lnXt??lnXt?1) 对其进行普通最小二乘估计得： lnYt?0.6319lnYt?1?0.4153?0.9035(lnXt?0.6319lnXt?1) （3.247）(23.871) DW=1.333 由于D.W.?1.333，在5%的显著性水平下，样本容量为19的DW分布的上、下限临界值 为dL?1.18,dU?1.40,D.W.统计量落在区间(dL,dU)上，故根据判定规则，无法判定模型是否存在一阶序列相关。 方法二：广义最小二乘法 从回归结果知，该模型的D.W.统计量为1.34，和上面相同，无法判定模型是否存在一阶序列相关。 ③分别对序列Y与X取差分，然后可得回归结果。结果显示DW统计量的值为1.62，大于临界值的上限dU?1.41，小于1?dU?2.59，因此差分后的新数据构建的模型不存在序列相关。