发布时间 : 星期日 文章带答案 数学北师大版选修2-3计数原理原理练习题 第一章 5习题课更新完毕开始阅读
习题课 二项式定理
一、基础过关
122nn135
1． 已知C0n＋2Cn＋2Cn＋…＋2Cn＝729，则Cn＋Cn＋Cn的值等于
( )
A．64 B．32
C．63
D．31
( )
2． 233除以9的余数是
A．1
B．2 C．4 D．8
( )
3． (1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中x3项的系数是
A．74
B．121
C．－74
D．－121
4． 若(1＋a)＋(1＋a)2＋(1＋a)3＋…＋(1＋a)n＝b0＋b1a＋b2a2＋b3a3＋…＋bnan，且b0＋b1
＋b2＋…＋bn＝30，则自然数n的值为 A．3
B．4
C．5
( )
D．6
5． 若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的
值为
( )
A．15 B．10 C．8 D．5
6． (x＋2)10(x2－1)的展开式中x10的系数为________． 二、能力提升
7． (1＋2x)2(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，则a1－a2＋a3－a4＋a5－a6＋a7等于( )
A．32
B．－32
C．－33
D．－31
( )
8． (1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数是
A．－4
B．－3
C．3
D．4
1
x＋3?n的展开式中没有9． 已知(1＋x＋x2)?常数项，n∈N*，且2≤n≤8，则n＝________. ．．?x?10．求证：32n2－8n－9 (n∈N*)能被64整除．
＋
?x＋2?n
11．已知?3?的展开式的前三项系数的和为129，试问这个展开式中是否有常数项？
x??
有理项？如果没有，请说明理由；如果有，求出这一项． 1
＋2x?n的展开式中， 12．在二项式??2?
(1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；
(2)若展开式前三项的二项式系数的和等于79，求展开式中系数最大的项． 三、探究与拓展
13．若等差数列{an}的首项为a1＝C115m
－2m
?5232?nm－2*
－A2?展开式中的11－3m(m∈N)，公差是?－
?2x5x?
常数项，其中n为7777－15除以19的余数，求数列{an}的通项公式．
答案
1．B 2.D 3.D 4.B 5.D 6.179 7.D 8．B 9.5
10．证明 32n2－8n－9＝(8＋1)n1－8n－9
＋
＋
n1nn1
＝C0＋C1n＋18n＋18＋…＋Cn＋1－8n－9
＋
＋
n1nn12＝C0＋C18＋8(n＋1)＋1－8n－9 n＋18n＋18＋…＋Cn＋1·
＋
－
n1nn12＝C0＋C1n＋18n＋18＋…＋Cn＋18，
＋
－
该式每一项都含因式82，故能被64整除． n－rr3n－5rr11．解 ∵通项Tr＋1＝Crx·2·x－＝Cr2r·x， n·n·236
122
据题意，得C02＋Cn·2＝129，解得n＝8， n＋Cn·
24－5r∴Tr＋1＝Cr2r·x，且0≤r≤8. 8·6
24－5r由于＝0无整数解，所以该展开式中不存在常数项．
6又
24－5r5r
＝4－， 66
24－5r∴当r＝0，r＝6时，∈Z，
6即展开式中存在有理项，它们是： 1 792－1
T1＝x4，T7＝26·C6·x＝. 8
x
65
12．解 (1)由题意得C4n＋Cn＝2Cn，
∴n2－21n＋98＝0，∴n＝7或n＝14.
当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5， 1?4335?∴T4的系数为C3， 722＝??2
?1?34
T5的系数为C4722＝70. ??35
故展开式中二项式系数最大的项的系数为、70.
2当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8， 1?77?∴T8的系数为C71422＝3 432. ??故展开式中二项式系数最大的项的系数为3 432.
12
(2)由题意知C0n＋Cn＋Cn＝79，解得n＝12.
设展开式中第k＋1项系数最大，
11
＋2x?12＝??12(1＋4x)12， 因为??2??2?
k1k1?4k≥Ck4，?C12·12·?则kk ＋1k＋1?C12·4≥Ck4.?12·
－
－
∴9.4≤k≤10.4.
∵k∈{0,1,2，…，12}，∴k＝10.
1?12101010∴系数最大的项为T11，且T11＝??2?C12(4x)＝16 896x.
?5m≥11－2m，?111313．解 由题意得??≤m≤.∵m∈N*，∴m＝2.
75??11－3m≥2m－2
2
∴a1＝C710－A5＝120－20＝100.
而7777－15＝(1＋19×4)77－15
1227777＝C077＋C77(19×4)＋C77(19×4)＋…＋C77(19×4)－15 27776＝(19×4)[C177＋C77(19×4)＋…＋C77(19×4)]＋1－15 27776＝(19×4)[C177＋C77(19×4)＋…＋C77(19×4)]－19＋5.
∴7777－15除以19余5，即n＝5. 232?r?5?5－r?∴Tr＋1＝Cr ?52x－???5x??
r5r－15?5?5－2r·＝Cr(－1)·x. 5·2??3
令5r－15＝0，得r＝3，
3?5?－1·得T4＝C3(－1)＝－4. 5·2??
∴d＝T4＝－4.
∴an＝a1＋(n－1)d＝100＋(n－1)·(－4)＝104－4n.