发布时间 : 星期日 文章2019届高三数学 备考冲刺140分 问题36 圆锥曲线中的定值、定点问题(含解析)更新完毕开始阅读
综上可得?QMN的面积为定值62．
x2y27．【四川省蓉城名校高中2018届高三4月份联考】已知椭圆C： 2?2?1(a?b?0)的长轴长为4，
ab3A， B是其长轴顶点， M是椭圆上异于A， B的动点，且kMA?kMB??.
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（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图，若动点R在直线x?6上，直线AR， BR分别交椭圆C于P， Q两点.请问：直线PQ是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 【解析】
（1）由题意知2a?4则a?2，
设M?x0,y0?， A??a,0?， B?a,0?，则kMA?kMBy0y0y02?? ?2， 2x0?ax0?ax0?a0x02?x02y02b2322?由2?2?1，则y0?b?1?2?，则kMA?kMB??2??，则b2?3，由此可得椭圆C的标准方a4aba??x2y2??1. 程为43（2）设R?6,m?，则直线AP的方程为y?mm；则直线的方程为BQx?2y????x?2?联立得
48m?x?2?24m?4882222{2 消去y得： ?m?48?x?4mx?4?m?48??0，则?2?xQ?，即22m?48xy??143y???xQ?248?m2m2?48??代入直线BQ的方程得yQ?248?m224m24m??. ，故Q??2,22?m?48m?48?m?48???? 13
m2?x?2?4m?1242222联立得{2，即 消去y得： m?12x?4mx?4m?12?0，则2?xP?22m?12xy??143y???????xP?2m2?12m2?12??代入直线AP的方程得y2P?2m2?12?12m??12m?. ，故P??2,?m2?12m2?12?m?12????当
248?m2m2?48248?m2m2?48???2?m?12m2?122?，即m2?2??24，则PQ与x轴交点为T?,0?，
?3?当
???2?m?12m2?12?，即m2?2??24时，下证直线PQ过点T?,0?，
?3?由kPT?kQT?12m24m?0?022?9m9m?m2?12 ?m?48 ???0， 22m?2424?m2m?122248?m22??m2?123m2?483????故直线PQ过定点T??2?,0?. ?3?28．【江西省新余市2018届高三二模】已知抛物线C:x?2py?p?0?过点?2,1?，直线l过点P?0,?1?与抛物线C交于A， B两点.点A关于y轴的对称点为A?，连接A?B.
（1）求抛物线线C的标准方程；
（2）问直线A?B是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 【解析】
(1)将点?2,1?代入抛物线C:x?2py的方程得，
2 p?2.
所以，抛物线C的标准方程为x?4y.
2 14
(2)设直线l的方程为y?kx?1，又设A?x1,y1?， B?x2,y2?12x, 得，则A???x1,y1?.由{4y?kx?1,y?x2?4kx?4?0.
则??16k2?16?0， x1?x2?4， x1?x2?4k.
2x2x12?y2?y144?x2?x1. ??x2???x1?x1?x24所以kA?B2x2x?x?21?x?x2?． 于是直线A?B的方程为y?442x2?x1x2x?x所以y??x?x2???21x?1.
444当x?0时， y?1， 所以直线A?B过定点?0,1?.
9．【湖北省荆州中学2018届高三4月月考】已知动圆过定点A?2,0?，且在y轴上截得弦MN的长为4. （1）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）设B?1,0?，过点A斜率为k?k?0?的直线l交轨迹C于P,Q两点， PB,QB的延长线交轨迹C于
S,T两点.
①若?PQB的面积为3，求k的值. ②记直线ST的斜率为kST，证明： 【解析】
（1）设圆心C?x,y??x?0?，过点C作CE?y轴，垂足为E，则ME?∴CA?CM222kST为定值，并求出这个定值. k1MN. 2?ME?CE
222∴?x?2??y2?22?x2，化简为：y?4x. 当x?0时，也满足上式.
∴动圆圆心的轨迹C的方程为y?4x.
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2?y12??y2?,y1?,Q?,y2?， （2）设直线l的方程为y?k?x?2?， P??4??4?y2?4x ，得ky2?4y?8k?0， 由{y?k?x?2???16?32k2?0， y1?y2?①S?PQB?4,y1y2??8. k11ABy1?y2?22?y1?y2??4y1y2?221?2?3，解得k?2. 2k22uuuv?y12uuuv?y3?y3???,y3?，则BP???1,y1?， BS???1,y3?. ②设S??4??4??4?∵P,B,S共线
2?4??y3??y12?42?1?y3?y1??1??0，即y3???y1?y3?4?0，解得： y3?y1（舍）或y3??. ∴?y1?4??4??y1??4?44?4?∴S?2,??，同理T?2,??，
yyyy1?2??1?244?y1y2yy???12?2k
44y1?y2?22y1y2?∴kST∴
kST?2（定值） k
x22
10.如图,已知双曲线C：2－y＝1(a>0)的右焦点为F.点A,B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BFa∥OA(O为坐标原点)．
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