发布时间 : 星期日 文章2019届高三数学 备考冲刺140分 问题36 圆锥曲线中的定值、定点问题(含解析)更新完毕开始阅读
令直线
，得过定点
，
(二) 定值问题
解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关,不依参数的变化而变化,而始终是一个确定的值,求定值问题常见的方法有两种：
①从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关；
②直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值．
x2y2【例2】如图,点A??2,0?,B?2,0?分别为椭圆C:2?2?1?a?b?0?的左右顶点,P,M,N为椭圆Cab上非顶点的三点,直线AP,BP的斜率分别为k1,k2,且k1k2??1,AP//OM,BP//ON. 4
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）判断?OMN的面积是否为定值？若为定值,求出该定值；若不为定值,请说明理由.
mn4?mnnn2【分析】（Ⅰ）设P(m,n),则k1k2?,而,所以 ??2?2?1?n2?b2?m?2m?2m?44b4222b21根据弦长公式求底边MN的长,根据点到直线距离公式求底边上的高,k1k2?????b2?1（Ⅱ）
44因此设直线MN的方程为y?kx?t,由直线方程与椭圆方程联立方程组,利用韦达定理得
44k2?1?t2,根据斜率条件k1k2MN?1?k1?4k22??1及韦达定理得2t2?4k2?1 4ttk2?1,高为 d?,代入面积公式化简得S?2?2??1 22224k?1k?1k?12tt 5
kBP【解析】（Ⅰ）kAPgb21??,?1???a24??b?1
4a?2,??x2椭圆C:?y2?1.
4（Ⅱ）设直线MN的方程为y?kx?t,M?x1,y1?,N?x2,y2?,
?y?kx?t,?2222?4k?1x?8ktx?4t?4?0, ???x2??y?1,?48kt4t2?4x1?x2??2,xx?,
4k?1124k2?1yy11k1gk2???1g2???4y1y2?x1x2?0?4?kx1?t??kx2?t??x1x2?0,
4x1x24?4k2?1?x1x2?4kt?x1?x2??4t2?0,
?4t2?4??4k?1??4k2?1??4kt4k82kt?1?4t2?0?2t2?4k2?1,
??2MN??1?k??x?x?2122?x?x??1?k????2122?4x1x2?
?2?8kt4t2?4?k2?1??2, ??1?k???2??42??2224k?1?4k?1???4k?1??ttk2?1d?,S?2?2??1. 22224k?1k?1k?12tt∴?OMN的面积为定值1.
【点评】圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
(1)求代数式为定值．依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值； (2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得；
(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 【小试牛刀】【湖南省怀化市2019届高三3月第一次模拟】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，它的
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一个顶点恰好是抛物线（1）求椭圆的方程；
的焦点，离心率等于.
（2）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于、两点，交轴于点，若为定值.
，，求证：
【解析】（1）设椭圆的方程为，则由题意知
∴.即∴
∴椭圆的方程为
，
，
.
（2）设、、点的坐标分别为又易知点的坐标为
显然直线存在的斜率，设直线的斜率为，则直线的方程是将直线的方程代入到椭圆的方程中，消去并整理得
，∴
∵
，
，
∴将各点坐标代入得，
∴
圆锥曲线中的定值、定点问题要善于从运动中寻找不变的要素,可以先通过特例、极限位置等探求定值、定点,然后利用推理证明的方法证明之． 四、迁移运用
1．【湖南省怀化市2019届高三3月第一次模拟】直线与抛物线：
交于
两点，为坐标原点，若
直线A．
，
的斜率，满足
B．
，则直线过定点（ ）
C．
D．
【答案】C
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【解析】设将直线：∴即直线：
，代入，∴
，则，得.
，又，
，，解得.
，所以过定点
2.【湖南省浏阳一中、醴陵一中联考】双曲线I是
的内心，且
，则
的左、右焦点分别为（ ）
，P为双曲线右支上一点，
A． B． C． D．
【答案】D 【解析】如图，设
内切圆的半径为．
由整理得
得．
，
因为P为双曲线右支上一点， 所以
，
，
所以．故选D．
3.【江西省南昌市2019月考】已知椭圆：角形
的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边
、
、
的右焦点为,且离心率为，三
的中点分别为、、，且三条边所在
、
、
的斜率之
直线的斜率分别为、、，且、、均不为0.为坐标原点，若直线
和为1.则（ ）
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