发布时间 : 星期四 文章江苏省四校南师附中天一中学海门中学淮阴中学2019届高三数学下学期期初调研检测试题173更新完毕开始阅读
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x(ⅱ)直线 AB 与 y 轴垂直, AB ? 4 , P 为 (0, 2) 或 (0, ?2) ,适合题意。 (ⅲ)直线 AB 不与 x 轴垂直时,设 AB : y ? k 3) , ex0 x0 ex0 令 h(x)=lnx+1-x +x(x>1),
ex 2x32x32
则 h'(x)=1--x+x+1=e+x-x-x=(e-x)+(x-x)>0,
0)
( x ?
与椭圆方程 x 2
4
? y 2 ? 1联立(1 ? 4k 2 ) x2 ? 8 3k 2 x ? 12k 得: 2
? 4 ? 0
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
(共 10 页)
∴h(x)在(1x ,+∞ex )单调增, xex xex ∴h(x)>h(1)=1-2>0.
e
∴f(x0)>g(x0).
kx ? ln b ?x ? 1
ln x ? b x 可化为 1 ? x ? k ? 0 x2
令 h( x) ??ln x ? 1 b x2 ??
x
? k(共 10 页)
…………………………8 分(3)
?1 ? 2 ln x b
1
∴ h '( x) ?? ?? 1 2 ln x ?
x3
x2 ? x2 ( b ?? x
) 令?( x) ? 2 ln x ? 1
( x ? 0)
x
1 ? 2 ln
∴ ?'( x) ?? x
,令?'( x) ? 0 得: x ??x2
e ∴?( x) 在 (0, e ) 增, e , ??)
( 减 ∴? ?( xe ) ?
?( )max 2 e h '( ) x ?? 1 x 2(b ? 2 ln x ?1 1 ) ? x2 (b ?? 2 ) ? 0 x e ∴ h( x) 在 (0, ??) 单调递
增。
当? b x ?? k1 时, h( x) ? ln x ? 1 ? b ? k ?
x2 x x 所以b
? 0
x1 ? ??且 x1 ? 1 时, h( x1 ) k
当 0 ? x ??1 时, h( x) ??ln x ? 1 b b
x2 ?? x ? k ? ??x
? k
e b 1 ∴ 0 ? x2 ? k ??
e
且 x2 ??
时, h( x2 ) ? 0
又 y ? h(x) 在 (0, ??) 的图象是不间断的, ∴ h( x) ? 0 在 ( x1 , x2 ) 有唯一解, 即对于任意
k ? 0 ,直线 y ? kx ? b
与曲线 y ? f (x) 有唯一公共点. ………………16 分
20.(1)【证明】由 Sn+(an-Sn)q=1,n∈N*,得: a1=1,(1-q)Sn+qan=1 (i), 所以(1-q)Sn+1+qan+1=1 (ii), (ii)-(i)得:(1-q)an+1+qan+1-qan=0,即 an+1=qan,
因为 an>0,所以an+1=q,n∈N*,且 q>0,
an
所以 q ? 2 , q ? N? ,
所以 3q2 ? 4q ? 4 ,即 q p ?t ? 4 ,
结合 t , p ? N* ,得 p ? t ? N* .
当 p ? t ? 3 时, q p ?t ? (3q 2 ? 4q) ? q 3 ? (3q 2 ? 4q)
?
? 3q ? 4) ? 0 ,(*)不成立;
q(q2
5
当 p ? t ? 1 时,(*)得 3q2 ? 4q ? q ,解得 q ? 0 3
或 q ?
(舍);
当 p ? t ? 2 时,(*)得 3q2 ? 4q ? q2 ,解得 q ? 0 (舍)或 q ? 2 ; 综上,q ? 2 .
……………………………10 分
② 由①得 an=2n-1,则 bn = n1
+ , 所以数列{bn}单调递减, 1=1+
n n
由 br,bs,bk 成等比数列,不妨设 r<s<k,
s ? 1
则 bs 2 r 1 ? k ? 1
s ? 1 2 r k k2=b b r ,即 ( s ) ??
r ??
k
, 即 (
s ) r ??
? 1? k ? 1
所以 k= s2
(r+1).
2sr+r-s2
令 2sr=s2 即 s=2r,得 k=(2r)2
(r+1)=4r2+4r. 所以存在无穷多组(r,2r,4r2r +4r)(r∈N*)符合条件. ……………………………16 分
结合 q 为常数,得数列{an}为等比数列.
……………………………4 分
? q n ?1 , (2)解:①由(1)得 an 所以存在 t ? N* ,使得 3a是数列?an ? 中的项 t ? 2 ? 4at ?1
? 存在 t , p ? N* ,使得 ? 4a? a
t ? 2
t p?1 ? 存在 t , p ? N* ,使得 3qt ?1 ? 4qt ? q p ?1 , 即 3q2 ? 4q ? q p ?t 3a
(*). 因为 q ? N? ,且 q ? 1 时,(*)显然不成立,
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数学 II(附加题)参考答案
21.【选做题】
21.A.解析:(1) f (?) ? ?? 1 ?
1 m ? =(?+1)?? m
?
因为 ? 2 是一个特征值,所以 f (?2) ? 0
所以 m ? 2 .
……………………………5 分
??1 1?
(2)由(1)得: A ? ?? ? 2 0?? 所以 det( A) ??? 1 1
? ? 2 0
2 ? 0
? 0 ?? 1 ?? ?
0
1
所以逆矩阵 A?1 ?? ?? ? 2 ?2 ? ?? ?? ?2 ? ………………10 分
?1 ???? ?? ? 2 ??2 ?2 ??? ??1 1 ?? ?2 ??
B.解:由
?? 2 cos?得: ?2 ? 2?cos?
∴ x2 ?………………3 分
? y 2 1? 2x ? 0 ,即 ( x ?1)2
? y 2
∴ C (1, 0)
设点 P(cos?, 2 ? 2
cos?) , ∴| PC (cos??2 ? (2 ? 2 cos?) 5 cos2 |?
2 1) ??? 6 cos?? 5
∴当 cos? ? 1 时, PC 有最大值 4.
………………10 分
C.证明:因为 x>0,所以 x3+2 = x3+1+1 ≥3 x3×1×1 =
3 3x, 当且仅当 x3=1,即 x=1 时取“=”.
…………… 4 分
因为 y2+1-2y=(y-1)2≥0,所以 y2+1≥2y, 当且仅当 y=1 时取“=”.
…………… 8 分
【必做题】
22.解:(1)∵直线 l 的方程为 y ? 1
3x ? 1
令 x ? 0 ,则
y ? 1,即 Q(0,1) ∴ p 得: p ? 2
2 ?1
∴抛物线 C 的标准方程为 x2 ? 4 …………………………… 4 分
y (2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
由 PA ? ?QA, PB ? ?QB (?, ?? R )
得: ?? m ? ?
? x 1 x1
?
x2 ? m ? ?
x2 ??x ? m ? ??? ?1 所以
?? x1 ? ?x ???? 2 m ???
x2 所以?? ?? x1 ? m x2 ? m 2x1 x2 ? m (x1 ? x2 )
x? ? 1 x2 x1 x2
由题意,直线? x 2 AB 的斜率存在,设直线 AB : y ? k ( x ? m)
? 2 py( p ? 0) 得: x2 ? 2 pkx ? 2 pkm ? 0 ?
? y ? k (x ? m) ?? ? 0 所以 ?? x 1 ? 2x ? 2 pk ? ? x1 x2 ? 2 pkm 故?? ??
2 x1 x2 ? m( x1 ? x2 )
x? 4 pkm ??2 pkm ? 1 1 x2
2 pkm
即?? ?为定值为 1.
…………………………… 10 分
23.解:(1)
a1 ? 3? 4 ? 12, a2 ? 3 ; …………………………… 2 分
(2)
C0
(22019?n ?1) ? C1 ? 22018?n ? ... ? Ck