发布时间 : 星期四 文章江苏省四校南师附中天一中学海门中学淮阴中学2019届高三数学下学期期初调研检测试题173更新完毕开始阅读
2019 届期初数学学科调研测试试卷
数学 II（附加题）
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1． 本试卷共 2 页，均为解答题（第 21~23 题）。本卷满分为 40 分，考试时间为 30 分 钟。考试结束后，请将答题卡交回。 2． 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填 写在答题卡上，并用 2B 铅笔正确填涂考试号。 3． 作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它 位置作答一律无效。如有作图需要，用 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。
21．【选做题】本题包括 A、B、C 共 3 小题，请．选．定．其．中．两．小．题．，并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答．． 若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
A．[选修 4?2：矩阵与变换] （本小题满分 10 分）
已知 m∈R，矩阵 A＝
－1 1
m 0的一个特征值为－2． （1）求实数 m；
（2）求矩阵 A 的逆矩阵 A－1．
B．[选修 4?4：坐标系与参数方程] （本小题满分 10 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P 是曲线 E: {x＝cosθ， y＝2＋2cosθ（θ为参数）上的一 点．以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，以 C 为圆心的圆的极坐标方程为ρ＝ 2cosθ，求线段 PC 长的最大值．
C．[选修 4?5：不等式选讲] （本小题满分 10 分） 已知 x＞0，求证：x3＋y2＋3≥3x＋2y．
（共 4 页）
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作．答．，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分 10 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C 的方程为 x2＝2py(p＞0)，过点 P(m，0)(m≠0)的直线 l 与
抛
物线
C 交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 Q，设 →PA ＝ λ→ QA ，→ PB ＝→μ QB (λ，μ∈R)． （1）当 Q 为抛物线 C 的焦点时，直线 l 的方程为 y＝1x＋1，求抛物线 C 的标准方程；
3
（2）求证：λ＋μ为定值．
（第 22 题）
23．（本小题满分 10 分）
设集合 M＝{1，2，3，…，m}，集合 A，B 是 M 的两个不同子集，记|A∩B|表示集合 A∩B 的元 素个数．若|A∩B|＝n，其中 1≤n≤m－1，则称(A, B)是 M 的一组 n 阶关联子集对(（A，B）与（B，
A
）看作同一组关联子集对)，并记集合 M 的所有 n 阶关联子集对的组数为 an．
（
1）当 m＝3 时，求 a1，a2； （2）当 m＝2019 时，求{an}的通项公式，并求数列{an}的最大项．
（共 4 页）
江苏省海门中学 2019
数学 I 年期初数学学科调研测试试卷参考答案
一、填空题
1. {2，3} 2.1+2i 3.8 4. 1
5.2 6. 7 7. 39.(0，1) 10. 11. 5
3 10
8.2π
7 7
3 3
2
14 12. (－∞，－ e e ，＋∞13.3
3 ]∪[ ) e e
14. 2＋2
5
二、解答题
15.（1）因为 cosB＝－ 5 ，B∈(0，
π)， 5
所以 sinB＝ 1－cos2B＝ 1－(－ 5)2＝2 5．
5 5
在三角形 ABC 中，
sinA＝sin(π－(B＋C))＝sin(B＋C)＝sin(B＋π)＝sinBcosπ＋cosBsinπ．
4
4
4
故 sinA＝2 5× 2＋(－ 5)× 2＝ 10．
5 2 5 2 10
810×
由正弦定理知 AC ＝ BC ，所以 BC＝AC·sinA＝ 10 ＝2 2. …………………6 分
sinB sinA sinB 2
5
5
（2）在三角形 ABC 中，
cosA＝cos(π－(B＋C))＝－cos(B＋π)＝－cosBcosπ＋sinBsinπ，
4 4 4 故 cosA＝ 5× 2＋2 5× 2＝3
10．
5 2 5 2 10
因为 cos2A＝2cos2A－1＝2(3 10)2－1＝4,
10 5
sin23A＝2sinAcosA＝2×3 10× 10＝，
10 10 5
因此 cos(2A＋π)＝cos2Acosπ－sin2Asinπ＝4× 2－3× 2＝ 2． …………………14 分
（2）过 B 作 BP ? B1M ,垂足为 P
平面 AB1M ? 平面B1BCC1 平面 AB1M ? 平面B1BCC1 ? B1M
BP ? 平面 BB1C1C
∴ BP ? 平面 AB1M
AM ? 平面 AB1M
∴ BP ? AM
直四棱柱 ABCD ? A B C D 1 1 1 1 中, BB ? 平面 1 ABCD
AM ? 平面 ABCD ∴ BB1 ? AM
又 BP ? BB1 ? B
BP, BB1 ? 平面 BB1C1C
∴ AM ? 平面 BB1C1C 又 BC ? 平面 BB1C1C ∴ AM ? BC ．
…………………14 分
17.解： （1）如图，在 ?PAO 中，设 PA ? x ，
l2
则因为 PO ? PA ? 16 ，所以 PO ? 16 ? x ，
北 又因为 AO ? 8 3 ， ?BAO ? ? ， 所以由余弦定理得：
东?B x2 ? (8 3)2 ? 2 ? 8 3x cos?? (16 ? x)2 ， ……2 分 P?
解得 x ? 4
．
………4 分
l ? ? ? 2 ? 3
1 A O
cos? 当 ?POA ? π
时， (8 3)2 ? (16 ? x)2 ? x2 ，（第 17 题）
解得
x ? 14 2
， 此时， cos? ? 8 3 ? 4 3 ．
14 7
π
4 3
设 0 ? ?? 2 ，且 cos? ? 7
，则结合 P 位于城市 O 的西北区域内， B 在 l2 上，
π
4 4 4 5 2 5 2 10
16．证明：（1）连接 A1B 交 AB1 于 N
∵直四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中， AA1B1B 为平行四边形 ∴ N 为 A1B 的中点 又 M 为 BC 中点
∴ MN // A1C 且位于 O 北，得? ? ? ? ，
2
4
综上，公路 PA 段长关于? 的函数解析式为 PA ? ，? 的取值范围为 (?, 2 ? 3 cos? π
) ，
2
π 4 3
其中， 0 ? ?? ，且 cos? ? ． ………………………6 分
2 7
4 π （2）由（1） PA ? ，? ? ? ? ，结合 AO ? 8 3 ， ?BAO ? ? ， 又 A1C ? 平面 AB1M MN ? 平面 AB1M ∴ A1C //平面 AB1M .
…………………6 分
（共 10 页）
2 ? 3 cos? 2
得开发的三角形区域 PAO 面积： S (?) ? 1
AO ? PA
sin?
2 sin ? ? 1 ? 8 3 ? 4 2 2 ? 3 cos? （共 10 页）
? 16 3 sin? ，? ? ? ? π ．2 ? 3 cos?
2
所以 S ?(?) 16 3[cos?(2 3 cos?) 32 sin ?
? ? ?] (2 ? 32 cos?) ?π 16 3(2 cos??? 3) ，? ? ? ? (2 ．? 3 cos?) 2 2 由π S ?(?) ? 0 ，得? ? π ，因为 cos 3 ? 4 3 ，所以 π
? ? 6 6 2 ? ，
7 6
因此可得下表：
??(?, π π 6) 6 ( π 6 , π 2 ) S ?(?) ??0 ??
S (?) ↗ ↘ 所以，当? ? π 时，[S ? S ( π
) ?(?)] 3 ， 16 6
max 6 此时， AB ? AO ? 8 3 ?
16 ，cos π 3 6 2
即开发的三角形区域 PAO 面积最大时，绕城公路 AB 的长为16km ．…………14 分
??c
? 3 2 18．解：（1）由已知，得 ??? 2 ??b ? 1
?? a
??a2 ??a2 ? ?
c2 ? b2 解得 4 ? ??b2
? 1
2 m ∴椭圆 E 的标准方程为： x4
? y 2 ? 1．
…………………4 分
（2）? ?PAB 为 P 为直角顶点的等腰直角三角形， 设 AB 中点为 M ， ∴ AB ? 2PM （ⅰ）直线 AB 与 x 轴垂直， AB ? 1， OF ?? 3 , 不合题意，舍.
?
???
? 0 则 ??8 3k ? ?x ? ? 2 x1 2
?
1 ? 4k 2 ?? 12k 2 x x
??4
? 1 2 ? 2?1 ? 4k ?
∴ AB ? 1x ? |k 2 ? | x ? 12 2 ? k (x ? x )? 4x x
1 2 1 2 1 2
? 1 ? k 2 16(1 ? k 2 ) 4(1 ? k 2 ) 1 ? 4k2 ? 1 ? 4k2 AB 中点为 M 的横坐标为 ?4 3k 2
1 ? 4k 2
PM ? 1 ? 1 ) 2 ?4 | 3k 2
2 | (? k 1 ? 4k
∴??4 2 3k1 ? (? 1 ) 2 2 | |? 4(1 ??2
k ) k 1 ? 4k 1 ? 4k 2∴ k ? ? 2
1
11 直线 AB 的方程为 y ? 1 (x 3) 或 y ? 1 (x ?? 3)
? ? 11 11
综上：直线 AB 的方程为 y ? 1
1 (x 3) 或 y ? 或 y ? 0 . ……………16 ??11 ? (x 3) 分11
19.解：（1）f '(x)＝1－m－lnx, 令 f'(x)＝0 得：x＝e1－m,
x2
所以 f(x)在(0，e1－m)单调增，在(e1－m，＋∞)单调减. 所以 f(x)＝
1－
)＝ 1 ＝1, 得 m＝1. ……………3 分
f(e
e1 －m 2）f(x0)－g(x0)＝lnx0＋1－x0＋1＝ 1 x (lnx－x02
0＋1 0
2
（