发布时间 : 星期一 文章高三数学解斜三角形应用举例1更新完毕开始阅读
AB＝x千米，BC＝3千米 ∠ABC＝180°-150°＝30°
ACBC? AC＝3，∴ sin30?sinCAB，
∴
333?,?sinCAB?1sinCAB22，
∴ ∠CAB＝60°或∠CAB＝120°
当∠CAB＝60°时，∠ACB＝180°-30°-60°＝90° x＝23千米
当∠CAB＝120°，∠ACB＝180°-120°-30°＝30° ∴ x＝AC＝3千米
106 3．3cm 分析：如图，
∠ABC＝180°-105°＝75° ∠BCA＝180°-135°＝45°， BC＝10 cm
∴ ∠A＝180°-75°-45°＝60°
x10? ∴ sin45?sin60?
10sin45??sin60? ∴ x＝
10?22?106332(cm)
4．50(6?2) m 分析：如图，DB＝100 m
∠BDA＝45°，∠BCA＝30° 设CD＝x
∴ (x＋DA)2tan30°＝DA2tan45°
2?5022 又DA＝BD2cos45°＝1003 DA ∴ x＝tan30?-DA
502?5023 ＝3
＝502(3-1) ＝50(6?2)(m)
153 5．4 分析：∵ a＝b＋2，b＝c＋2
∴ a边对的角最大，且b＝a-2，c＝a-4；cosA=±
1?sin2A??12
1(a?2)2?(a?4)2?a2???22(a?2)(a?4)1a2?12a?20???22(a?2)(a?4)1(a?2)(a?10)???22(a?2)(a?4)
a?10 ∴ a?4＝±1 a?10 当a?4＝1时，无解 a?10 当a?4＝-1时，a＝7
∴ b＝5，c＝3
113153?2224 ∴ S△ABC＝bcsinA＝35333
三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 1．解：∵ acosA＝bcosB
b2?c2?a2a2?c2?b2?b?2bc2ac ∴ a2
∴ a(b＋c-a)＝b(a＋c-b) ∴ c(a-b)＝a-b
∴ c(a-b)＝(a-b)(a＋b) ∴ (a-b)(a＋b-c)＝0 ∴ a＝b或a＋b＝c
∴ △ABC是等腰三角形或是直角三角形． 2．解：在△ABC中，∠BAC＝15° ∠CBA＝180°-45°＝135°，AB＝100 m ∴ ∠ACB＝30°
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100BC? 由正弦定理，得sin30?sin15?
100sin15? ∴ BC＝sin30?
又在△BCD中，∠CBD＝45°，∠CDB＝90°＋?， CD＝50 m
50BC? ∴ sin45?sin(90???) 100sin15?50?sin30? ∴ sin45?sin(90???)
解得cos?＝3-1 ∴ ?＝42.94°
∴ 山对于地平面的斜度的倾斜角为42.94°．
3．解：如图，设缉私船追上走私船所需要的时间为t小时，则有CD＝103t，
BD＝10t，
在△ABC中，∵ AB＝3-1，AC＝2，∠BAC＝45°＋75°＝120° ∴ BC＝
AB2?AC2?2AB?AC?cosBAC
22?(3?1)?2?2(3?1)?2?cos120??6
AC?sin120?2?BC2 由正弦定理可得sinABC＝
∴ ∠ABC＝45°，∴ ∠CBD＝90°＋30°＝120°
BD?sinCBD1?CD2 又sinBCD＝
∴ ∠BCD＝30°，∠BDC＝30° ∴ BD＝BC＝6，则有10t＝6，
6 ∴ t＝10＝0.245小时＝14.7分
∴ 缉私船沿北偏东60°方向，需14.7分钟能追上走私船．
AB?sinB120sin75???20(32?6)sin60? 4．解：如图，在△ABC中，由已知可得AC＝sinC
设C到AB的距离为CD，
2CD＝2AC＝20(3＋3)
∴河的宽度为20(3?3)米。
a2?c2?b22ac 5．证明：∵ cosB＝ 112?? ∵ acb
∴ 2ac＝bc＋ba ∴ ac-bc＝ba-ac ∴ c(a-b)＝a(b-c) ∴ a-b与b-c同号
?a?b?0?a?b?0或??b?c?0?b?c?0 ∴ ??a?b?a?b或?? ∴ ?b?c?b?c
∴ a＞b＞c或a＜b＜c ∴ a-b＞0或c-b＞0 ∴ a＋c-b＞0 ∴ cosB＞0 ∴ ∠B为锐角
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