发布时间 : 星期二 文章创新设计高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题四立体几何教师用书理更新完毕开始阅读
专题四 立体几何教师用书 理
一、填空题
1.(2016·浙江卷改编)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，且直线m，n满足m∥α，n⊥β，给出下列结论：
①m∥l；②m∥n；③n⊥l；④m⊥n. 则上述结论正确的是________(填序号).
解析 由已知，α∩β＝l，∴l?β，又∵n⊥β，∴n⊥l，③正确. 答案 ③
2.已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为________. 解析 利用圆柱的侧面积公式求解，该圆柱的侧面积为2π×1×2＝4π，一个底面圆的面积是π，所以该圆柱的表面积为4π＋2π＝6π. 答案 6π
3.(2016·徐州、宿迁、连云港模拟)已知圆锥的母线长为10 cm，侧面积为 60π cm，则此圆锥的体积为________cm.
解析 设圆锥底面圆的半径为r，母线为l，则侧面积πrl＝10πr＝60π，解得r＝6，则12122
高h＝l－r＝8，则此圆锥的体积为πrh＝π×36×8＝96π.
33答案 96π
4.如图所示，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AC，PC的中点，PA＝2，AB＝1，求三棱锥C－PED的体积为________. 解析 ∵PA⊥平面ABCD，∴PA是三棱锥P－CED的高，PA＝2. ∵ABCD是正方形，E是AC的中点， ∴△CED是等腰直角三角形.
2
3
AB＝1，故CE＝ED＝S△CED＝CE·ED＝·
1
2
12
2， 2
221·＝. 224
1111
故VC-PED＝VP-CED＝·S△CED·PA＝··2＝.
33461
答案
6
5.如图，正方体ABCD -A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在
CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________.
解析 ∵EF∥平面AB1C，EF?平面ABCD，
平面ABCD∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC， 又∵E是AD的中点，
∴F是CD的中点，即EF是△ACD的中位线， 11
∴EF＝AC＝×22＝2.
22答案
2
6.(2016·镇江高三期末)设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，现给出下列命题： ①若b?α，c∥α，则b∥c； ②若b?α，b∥c，则c∥α； ③若c∥α，α⊥β，则c⊥β； ④若c∥α，c⊥β，则α⊥β.
其中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号).
解析 ①中直线b，c平行或异面，则①错误；②中c∥α或c?α，则②错误；③中c，
β的位置关系可能平行、相交或者直线在平面上，则③错误；由线面平行的性质、线面垂
直的性质、面面垂直的判定定理可知④正确，故正确命题是④. 答案 ④
7.(2016·苏、锡、常、镇调研)设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若＝
3
2
V13S1
，则的值为________. V2πS2
解析 棱长为a的正方体的体积V1＝a，表面积S1＝6a，底面半径和高均为r的圆锥的体1V1a3S16a3232
积V2＝πr，侧面积S2＝2πr，则＝＝，则a＝r，所以＝＝. 2
3V213πS2π2πrπr3答案
32
π
3
2
8.(2016·无锡高三期末)如图，在圆锥VO中，O为底面圆心，半径OA⊥OB，且OA＝VO＝1，则O到平面VAB的距离为________.
11
解析 由题意可得三棱锥V－AOB的体积为V三棱锥V－AOB＝S△AOB·VO＝.
36△VAB是边长为2的等边三角形，其面积为
332
×(2)＝，设点O到平面VAB的距离为42
h，则V三棱锥O－VAB＝
1131S△VAB·h＝×h＝V三棱锥V－AOB＝， 3326解得h＝
3
， 3
3. 3
即点O到平面VAB的距离是答案
3 3
二、解答题
9.(2014·江苏卷)如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，
AC，AB的中点.已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.
求证：(1)直线PA∥平面DEF； (2)平面BDE⊥平面ABC.
证明 (1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA. 又因为PA?平面DEF，
DE?平面DEF，
所以直线PA∥平面DEF.
1
(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝PA＝3，
2
EF＝BC＝4.
又因为DF＝5，故DF＝DE＋EF， 所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF. 又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.
因为AC∩EF＝E，AC?平面ABC，EF?平面ABC， 所以DE⊥平面ABC.又DE?平面BDE， 所以平面BDE⊥平面ABC.
10.如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB⊥BC，E，F分别是A1B，AC1的中点.
(1)求证：EF∥平面ABC； (2)求证：平面AEF⊥平面AA1B1B；
(3)若A1A＝2AB＝2BC＝2a，求三棱锥F-ABC的体积. (1)证明 如图连接A1C.
∵直三棱柱A1B1C1-ABC中，AA1C1C是矩形. ∴点F在A1C上，且为A1C的中点.
2
2
2
12
在△A1BC中，∵E，F分别是A1B，A1C的中点，∴EF∥BC. 又∵BC?平面ABC，EF?平面ABC， 所以EF∥平面ABC.
(2)证明 ∵直三棱柱A1B1C1-ABC中，B1B⊥平面ABC，∴B1B⊥BC. 又∵EF∥BC，AB⊥BC， ∴AB⊥EF，B1B⊥EF.
∵B1B∩AB＝B，∴EF⊥平面ABB1A1. ∵EF?平面AEF， ∴平面AEF⊥平面ABB1A1.
(3)解 V111
F-ABC＝2VA1-ABC＝2×3×S△ABC×AA1
3
＝1112×3×2a2×2a＝a6
. 如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点.求证： (1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD.
证明 (1)因为平面PAD∩平面ABCD＝AD. 又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD. 所以PA⊥底面ABCD.
(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点， 所以AB∥DE，且AB＝DE. 所以ABED为平行四边形. 所以BE∥AD.
又因为BE?平面PAD，AD?平面PAD， 所以BE∥平面PAD. (3)因为AB⊥AD，
且四边形ABED为平行四边形. 所以BE⊥CD，AD⊥CD. 由(1)知PA⊥底面ABCD， 所以PA⊥CD.又因为PA∩AD＝A， 所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD， 且CD?平面PCD，
又E，F分别是CD和CP的中点，
11.所以EF∥PD，故CD⊥EF.
由EF，BE在平面BEF内，且EF∩BE＝E， 所以CD⊥平面BEF.又CD?平面PCD， 所以平面BEF⊥平面PCD.