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双臂电桥测量低电阻
用惠斯顿电桥测量中等电阻时，忽略了导线电阻和接触电阻的影响，但在测量1Ω以下的低电阻时，各引线的电阻和端点的接触电阻相对被测电阻来说不可忽略，一般情况下，附加电阻约为10-5~10-2Ω。为避免附加电阻的影响，本实验引入了四端引线法，组成了双臂电桥（又称为开尔文电桥）。这是一种常用的测量低电阻的方法，已广泛的应用于科技测量中。
【实验目的】
1、了解四端引线法的意义及双臂电桥的结构； 2、学习使用双臂电桥测量低电阻； 3、学习测量导体的电阻率。
【实验仪器】
电流源、电流换向开关、检流计开关、检流计、待测电阻、可调低值标准电阻各一个，桥臂电阻四个，导线若干。
【实验原理】
1、四端引线法
电阻的阻值范围一般很大，可以分为三大类型进行测量。对于高值电阻（＞107Ω）的测量一般用兆欧表测量。测量中值电阻（10～106Ω），伏安法是比较容易的方法，惠斯顿电桥法是一种精密的测量方法。对于低值电阻（10Ω以下），若用惠斯登电桥或伏安法测量，由于连接导线的电阻和线柱的接触电阻的影响（数量级为10-2～10-5Ω），结果会产生很大误差，而接触电阻是产生误差的关键。实际上要减少接触电阻和导线电阻的数值是不容易的，要解决问题只能从线路本身去着手。
图1为伏安法测电阻的线路图，待测电阻RX两侧的接触电阻和导线电阻分别用等效电阻r1、r2、r3、r4表示。由于电压表的内阻较大，因此r1和r4对测量的影响不大，而r2和r3与RX串联在一起，因此实际上被测电阻应为r2+RX+r3。如果r2和r3阻值与RX为同一数量级，甚至超过RX，那么就不能用该电路来测量RX了。
图1 伏安法测电阻 图2 四端引线法测电阻
若在测量电路的设计上改为如图2 所示的电路，将待测低电阻RX两侧的接点分为两个电流接点C-C和两个电压接点P-P，C-C在P-P的外侧。显然电压表测量的是P-P之间电阻两端的电压，消除了r2和r3对RX测量的影响。这种测量低电阻或低电阻两端电压的方法叫
做四端引线法，广泛应用于各种测量领域中。例如为了研究高温超导体在发生正常超导转变时的零电阻现象和迈斯纳效应，必须测定临界温度Tc，正是用通常的四端引线法，通过测量超导样品电阻R随温度T的变化而确定的。因此为了减小接触电阻和接线电阻对测量结果的影响，在本实验中使用的低值标准电阻设有四个端钮C1、C2、P1和P2。
2、双臂电桥（开尔文电桥）原理
如图3所示，在惠斯登电桥中有十二根导线和A、B、C、D四个接点，其中A、C点到电源和B、D点到检流计的导线电阻可并入电源和检流计的内阻里，对测量结果无影响，但桥臂的八根导线和四个结点会影响测量结果。
R2可用阻值较高在电桥中由于比较臂R1、
的电阻，因此与这两个电阻相连的四根导线的
电阻不会对测量结果带来多大误差，可以略去不计。由于待测电阻RX是一个低值电阻，比较臂R0也应是低值电阻，于是与RX、R0相连的导线和接点电阻就会影响测量结果。
为了消除上述电阻的影响，我们采用图4的电路，电路中RX为待测电阻，RN为标准电阻，R1、R2、R3、R4组成电桥双臂电阻。它
与图2的惠斯登电桥相比较，不同点在于： 图3 惠斯登电桥原理图
（1）桥的一端B接到附加电路C2R2BR4F上，R1、R3和R2、R4并列，故称双臂电桥。 （2）C1、C2间为待测的低值电阻。连接时要用四个接头，C1、C2称为电流接点，位于电桥外。P1、P2称为电压接头，位于电桥内。
图4 双臂电桥原理图
这种电路用电阻测量补偿法消除接触电阻的影响，P1、P2两点间的电阻即为需要测量的待测电阻RX。
假设P1、P2、F、H等处的接线接触电阻分别为r1、r2、r3、r4，它们附加入R1、R2、R3、
R4。一般来说，接线电阻r远远小于桥臂电阻R（r/R?10?3~10-4），因而这几处的接线电
阻的对测量结果的影响可忽略不计，而C1、C2处接线接触电阻在电桥的外路上，显然与电桥平衡无关，因而无需考虑其对结果的影响。
当电桥上的检流计指示为零时，电桥处于平衡状态。此时电桥双臂电阻R1与R3内流过电流相等，即I1?I3； R2与R4内流过的电流也相等，即I2?I4；RX与RN内流过电流亦相等，即IX?IN。设RX与RN之间的连线电阻为r，则由基尔霍夫定律可得：
IxRx?I2(R2?r2)?I1(R1?r1) IxRN?I2(R4?r4)?I1(R3?r3)
(IX?I2)r?I2(R2?r2?R4?r4)
由于R1?4??r1?4，因此近似地可得： IxRx?I2R2?I1R1 IxRN?I2R4?I1R3
(IX?I2)r?I2(R2?R4)
将上述三个方程联立求解，可得下式：
RX?R1rR4RRRN?(1?2) （1） R3R2?R3?rR3R4由此可见，用双臂电桥测电阻，Rx的结果由等式右边的两项来决定，其中第一项与单臂
电桥相同，第二项称为更正项。为了更方便测量和计算，使双臂电桥求Rx的公式与单臂电桥相同，所以实验中可设法使更正项尽可能做到为零。在双臂电桥测量时，通常可采用同步调节法，令R1/R3?R2/R4，使得更正项能接近零。在实际的使用中，通常使R1?R2,R3?R4，则上式变为
RX?R1RN （2） R3在这里必须指出，在实际的双臂电桥中，很难做到R1/R3与R2/R4完全相等，所以RX和
RN之间的电流接点间的导线应使用较粗的、导电性良好的导线，以使r值尽可能小，这样，
即使R1/R3与R2/R4两项不严格相等，但由于r值很小，更正项仍能趋近于零。为了更好的验证这个结论，可以人为地改变R1、R2、R3、R4的值，使R1?R2,R3?R4，并与R1?R2,R3?R4时的测量结果相比较。
双臂电桥所以能测量低电阻，总结为以下关键两点：
a、单臂电桥测量小电阻之所以误差大，是因为用单臂电桥测出的值，包含有桥臂间的引线电阻和接触电阻，当接触电阻与RX相比不能忽略时，测量结果就会有很大的误差。而双臂电桥电位接点的接线电阻与接触电阻位于R1、R2、R3和R4的支路中，实验中只需设法令R1、
R2、R3和R4都不小于100Ω，那么接触电阻的影响就可以略去不计。
b、双臂电桥电流接点的接线电阻与接触电阻，一端包含在电阻r里面，而r是存在于更正项中，对电桥平衡不发生影响；另一端则包含在电源电路中，对测量结果也不会产生影响。当满足R1/R3?R2/R4条件时，基本上消除了r的影响。
3.金属棒的电阻率
根据欧姆定律，对于粗细均匀的圆金属导体，其电阻值与长度L成正比，与横截面积S成
L反比，R??，式中，?为电阻率。若已知导体的直径d，L为金属棒的长度。则：
S??R【实验内容和步骤】 一、测量金属棒的电阻率
?d24L （3）
1．将待测金属棒的长度l设定为40.00cm，只测一次。并计算l的合成不确定度uC(l)； 2. 用螺旋测微计测出金属棒的直径d，在不同地方测5次求平均，并计算d的标准偏差
S(d)和d的合成不确定度uC(d)；
3. 如图4所示接线。将可调标准电阻、被测电阻按四端连接法，与R1、R2、R3和R4连接，注意CN1、CX2之间要用粗短连线。
图4 双臂电桥实验线路图
4．打开电流源和检流计的开关。预热5min后，将检流计档位键置于“调零”处，调节调