发布时间 : 星期日 文章(江苏专用)2020高考数学二轮复习专题三解析几何教学案更新完毕开始阅读
中半径最小的圆方程．
[解] (1)因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，AC与AB垂直，所以直线AC的斜率为－3.
故AC边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，
即3x＋y＋2＝0.设C为(x0，－3x0－2)，因为M为BC中点，所以B(4－x0，3x0＋2)． 4
点B代入x－3y－6＝0，解得x0＝－，
5
?42?所以C?－，?. ?55?
所以BC所在直线方程为x＋7y－2＝0.
(2)因为Rt△ABC斜边中点为M(2，0)，所以M为Rt△ABC外接圆的圆心． 又AM＝22，从而Rt△ABC外接圆的方程为(x－2)＋y＝8.
设P(a，b)，因为动圆P过点N，所以该圆的半径r＝（a＋2）＋b，圆方程为(x－a)＋(y－b)＝r.
由于⊙P与⊙M相交，则公共弦所在直线m的方程为(4－2a)x－2by＋a＋b－r＋4＝0. 因为公共弦长为4，⊙M半径为22，所以M(2，0)到m的距离d＝2，即|2（4－2a）＋a＋b－r＋4|
＝2， 22
2（2－a）＋b化简得b＝3a－4a，所以r＝ （a＋2）＋b＝ 4a＋4. 当a＝0时，r最小值为2，此时b＝0，圆的方程为x＋y＝4.
[方法技巧]
解决有关直线与圆位置关系的问题的方法
(1)直线与圆的方程求解通常用的待定系数法，由于直线方程和圆的方程均有不同形式，故要根据所给几何条件灵活使用方程．
(2)对直线与直线的位置关系的相关问题要用好直线基本量之一斜率，要注意优先考虑斜率不存在的情况．
(3)直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系在处理时几何法优先，有时也需要用代数法即解方程组．
[演练冲关]
(2019·连云港模拟)已知圆O1：x＋y＝25，点P在圆O2：x＋y＝r(0＜r＜5)上，过点
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P作圆O2的切线交圆O1于点M，N两点，且r，OM，MN成等差数列．
(1)求r；
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(2)若点P′的坐标为(－4，3)，与直线MN平行的直线l与圆O2交于A，B两点，则使△AOB的面积为43的直线l有几条？并说明理由．
解：(1)显然圆O1和圆O2是圆心在原点的同心圆． 连接OP，则OP⊥MN，OM＝5，OP＝r， 在直角三角形MOP中，MP＝5－r， 所以MN＝25－r. 由r，OM，MN成等差数列， 得2OM＝r＋MN，
即2×5＝r＋225－r，解得r＝4. (2)因为点P′的坐标为(－4，3)， 34所以kOP′＝－，所以直线l的斜率k＝，
434
设直线l的方程为y＝x＋b，即4x－3y＋3b＝0.
3|3b|
设圆心到该直线的距离为d，则d＝，
5则AB＝24－d，
122
所以S△AOB＝×AB×d＝4－d×d＝43，
2整理得 d－16d＋48＝0，(d－4)(d－12)＝0， 解得d＝2或d＝23 ，
|3b|
因为d＝，从而对应的b有4个解：
5
4
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2
2
2
2
2
2
2
2
b＝±或b＝±
103103
， 3
检验知均符合题意，故使△AOB的面积为43的直线l有4条.
题型(二) 圆中的定点、定值问题 主要考查动圆过定点的问题其本质是含参方程恒有解，定值问题是引入参数，再利用其满足的约束条件消去参数得定值.
[典例感悟]
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[例2] 已知圆C：x＋y＝9，点A(－5，0)，直线l：x－2y＝0. (1)求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；
(2)在直线OA上(O为坐标原点)，存在定点B(不同于点A)满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标．
[解] (1)设所求直线方程为y＝－2x＋b， 即2x＋y－b＝0. 因为直线与圆C相切， 所以
|－b|2＋1
2
2
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PBPA＝3，解得b＝±35.
所以所求直线方程为2x＋y±35＝0. (2)法一：假设存在这样的点B(t，0)． 当点P为圆C与x轴的左交点(－3，0)时，＝
PB|t＋3|
；
PA2
PB|t－3|
当点P为圆C与x轴的右交点(3，0)时，＝.
PA8
|t＋3||t－3|9
依题意，＝，解得t＝－或t＝－5(舍去)．
285
PB?9?下面证明点B?－，0?对于圆C上任一点P，都有为一常数．
PA?5?
设P(x，y)，则y＝9－x，
188118
·（5x＋17）
52525PB9PB3
所以2＝＝.从而＝为常22＝22＝
PA（x＋5）＋yx＋10x＋25＋9－x2·（5x＋17）25PA5
2
2
2
?x＋9?＋y2
?5???
2
x2＋x＋9－x2＋
数．
法二：假设存在这样的点B(t，0)，使得为常数λ，则PB＝λPA，所以(x－t)＋y＝λ[(x＋5)＋y]，将y＝9－x代入，得
2
2
2
2
2
PBPA22222
x2－2xt＋t2＋9－x2＝λ2(x2＋10x＋25＋9－x2)，
即2(5λ＋t)x＋34λ－t－9＝0对x∈[－3，3]恒成立， 3λ＝，??5??5λ＋t＝0，?λ＝1，?
所以?解得?或?(舍去)．
??34λ－t－9＝0.9t＝－5??
t＝－??5
22
2
2
2
2
PB3?9?故存在点B?－，0?对于圆C上任一点P，都有为常数.
PA5?5?
[方法技巧]
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关于解决圆中的定点、定值问题的方法
(1)与圆有关的定点问题最终可化为含有参数的动直线或动圆过定点．解这类问题关键是引入参数求出动直线或动圆的方程．
(2)与圆有关的定值问题，可以通过直接计算或证明，还可以通过特殊化，先猜出定值再给出证明．
[演练冲关]
?2?1．(2019·无锡天一中学模拟)已知以点C?t，?为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y?
t?
轴交于点O，B，其中O为坐标原点．
(1)求证：△OAB的面积为定值；
(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若OM＝ON，求圆C的方程． 解：(1)证明：由题意知圆C过原点O，∴半径r＝OC. 422
∵OC＝t＋2，
t4?2?2
∴设圆C的方程为(x－t)＋?y－?＝t＋2，
t?t?
2
2
令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，则A(2t，0)． 4?4?令x＝0，得y1＝0，y2＝，则B?0，?.
t?t?
11?4?∴S△OAB＝OA·OB＝×|2t|×??＝4，
22?t?即△OAB的面积为定值． (2)∵OM＝ON，CM＝CN， ∴OC垂直平分线段MN. 1
∵kMN＝－2，∴kOC＝，
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∴直线OC的方程为y＝x.
221
∴＝t，解得t＝2或t＝－2. t2
当t＝2时，圆心C的坐标为(2，1)，r＝|OC|＝5， 此时圆心C到直线y＝－2x＋4的距离d＝圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点． 当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，
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<5，