发布时间 : 星期三 文章（江苏专用）2020高考数学二轮复习专题三解析几何教学案更新完毕开始阅读
1．过圆O：x＋y＝r上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r. 2.过圆C外一点P做圆C的切线，切点分别为A，B(求切线时要注意斜率不存在的情况)如图所示，则
(1)P，B，C，A四点共圆，且该圆的直径为PC； (2)该四边形是有两个全等的直角三角形组成； ∠BCA∠BPAr(3)cos＝sin＝；
22PC(4)直线AB的方程可以转化为圆C与以PC为直径的圆的公共弦，且P(x0，y0)时，直线
2222
AB的方程为x0x＋y0y＝r2.
3．椭圆焦点三角形的3个规律
x2y2
设椭圆方程是2＋2＝1(a>b>0)，焦点F1(－c，0)，F2(c，0)，点P的坐标是(x0，y0)．
ab(1)三角形的三个边长是PF1＝a＋ex0，PF2＝a－ex0，F1F2＝2c，e为椭圆的离心率． (2)如果△PF1F2中∠F1PF2＝α，则这个三角形的面积S△PF1F2＝c|y0|＝btan .
2sin∠F1PF2
(3)椭圆的离心率e＝. sin∠F1F2P＋sin∠F2F1P4．双曲线焦点三角形的2个结论
2
αx2y2
P(x0，y0)为双曲线2－2＝1(a>0，b>0)上的点，△PF1F2为焦点三角形．
ab(1)面积公式
1
S＝c|y0|＝r1r2sin θ＝
2(2)焦半径
若P在右支上，PF1＝ex0＋a·PF2＝ex0－a；若P在左支上，PF1＝－ex0－a，PF2＝－ex0
＋a.
5．抛物线y＝2px(p>0)焦点弦AB的3个结论 (1)xA·xB＝；
4(2)yA·yB＝－p； (3)AB＝xA＋xB＋p.
[课时达标训练]
A组——抓牢中档小题
1．若直线l1：mx＋y＋8＝0与l2：4x＋(m－5)y＋2m＝0垂直，则m＝________．
9
22
b2
tan
2
θ(其中PF1＝r1，PF2＝r2，∠F1PF2＝θ)．
p2
解析：∵l1⊥l2，∴4m＋(m－5)＝0，∴m＝1. 答案：1
2．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝045
的距离为，则圆C的方程为____________．
5
解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a＞0，所以圆心到直线2x－
y＝0的距离d＝
2a4522＝，解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝2＋（5）＝3，所以
55
2
2
圆C的方程为(x－2)＋y＝9.
答案：(x－2)＋y＝9
3．(2019·无锡期末)以双曲线－＝1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是
54________．
解析：由题可设抛物线的方程为y＝2px(p＞0)，双曲线中，c＝5＋4＝3，所以双曲线的右焦点的坐标为(3，0)，则抛物线的焦点坐标为(3，0)，所以＝3，p＝6，所以抛物线的
2标准方程为y＝12x.
答案：y＝12x
4．已知直线l过点P(1，2)且与圆C：x＋y＝2相交于A，B两点，△ABC的面积为1，则直线l的方程为________．
解析：当直线斜率存在时，设直线的方程为y＝k(x－1)＋2，即kx－y－k＋2＝0.因为S△ABC2
2
22
2
2
2
x2y2
p11
＝CA·CB·sin∠ACB＝1，所以×2×2×sin∠ACB＝1，所以sin∠ACB＝1，即∠ACB22
|－k＋2|3＝90°，所以圆心C到直线AB的距离为1，所以＝1，解得k＝，所以直线方程为
4k2＋13x－4y＋5＝0；当直线斜率不存在时，直线方程为x＝1，经检验符合题意．综上所述，直线
l的方程为3x－4y＋5＝0或x＝1.
答案：3x－4y＋5＝0或x＝1
5．已知圆M：(x－1)＋(y－1)＝4，直线l：x＋y－6＝0，A为直线l上一点，若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，则点A的横坐标的取值范围为________．
解析：由题意知，过点A的两直线与圆M相切时，夹角最大，当∠BAC＝60°时，|MA|＝
|MB|222
＝＝4.设A(x，6－x)，所以(x－1)＋(6－x－1)＝16，解得x＝1或xsin∠BAMsin 30°
2
2
＝5，因此点A的横坐标的取值范围为[1，5]．
10
答案：[1，5]
6．(2018·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy中，若圆(x－2)＋(y－2)＝1上存在点M，使得点M关于x轴的对称点N在直线kx＋y＋3＝0上，则实数k的最小值为________．
解析：圆(x－2)＋(y－2)＝1关于x轴的对称圆的方程为(x－2)＋(y＋2)＝1，由题意|2k－2＋3|4得，圆心(2，－2)到直线kx＋y＋3＝0的距离d＝≤1，解得－≤k≤0，所以实
3k2＋14
数k的最小值为－.
3
4
答案：－ 3
7．(2019·南京四校联考)已知圆O：x＋y＝1，半径为1的圆M的圆心M在线段CD：y＝x－4(m≤x≤n，m＜n)上移动，过圆O上一点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，且满足∠APB＝60°，则n－m的最小值为________．
解析：设M(a，a－4)(m≤a≤n)，则圆M的方程为(x－a)＋(y－a＋4)＝1.连接MP，MB，则MB＝1，PB⊥MB.因为∠APB＝ 60°，所以∠MPB＝30°，所以MP＝2MB＝2，所以点P在以
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
M为圆心，2为半径的圆上，连接OM，又点P在圆O上，所以点P为圆x2＋y2＝1与圆(x－a)2
＋(y－a＋4)＝4的公共点，所以2－1≤OM≤2＋1，即1≤a＋（a－4）≤3，得
??2a－8a＋15≥0，2222?2解得2－≤a≤2＋.所以n≥2＋，m≤2－，所以n－m≥2.
2222?2a－8a＋7≤0，?
2
2
2
2
答案：2
8．(2019·南京盐城二模)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，0)，B(5，0)．若圆M：(x－4)＋(y－m)＝4上存在唯一的点P，使得直线PA，PB在y轴上的截距之积为5，则实数m的值为________．
解析：设点P(x0，y0)，则直线PA的方程为y＝同理可得直线PB在y轴上的截距为－
(x＋1), 在y轴上的截距为，x0＋1x0＋1
2
2
y0y0
5y0
，由直线PA，PB在y轴上的截距之积为5，得－x0－5
5y0y022
×＝5，化简，得(x0－2)＋y0＝9(y0≠0)，所以点P的轨迹是以C(2，0)为圆心，3x0－5x0＋1
为半径的圆(点A(－1，0)，B(5，0)除外)，由题意知点P的轨迹与圆M恰有一个公共点，若
2222
A，B均不在圆M上，因此圆心距等于半径之和或差，则2＋m＝5，解得m＝±21；或2＋m＝1，无解．若A或B在圆M上，易得m＝±3，经检验成立．所以m的值为±21或±3.
答案：±21或±3
11
x2y2
9．(2018·扬州期末)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近
ab线与圆x＋y－6y＋5＝0没有交点，则双曲线离心率的取值范围是________．
解析：由圆x＋y－6y＋5＝0，得圆的标准方程为x＋(y－3)＝4，所以圆心C(0，3)，
2
2
2
2
2
2
x2y2
半径r＝2.因为双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线bx±ay＝0与该圆没有公共点，则圆心
ab|b×0±a×3|c3
到直线的距离应大于半径，即>2，即3a>2c，即e＝<，又e>1，故双曲线离22
a2b＋a?3?心率的取值范围是?1，?.
?2?
?3?答案：?1，? ?2?
10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x＋(y－3)＝2，点A是x轴上的一个动点，
2
2
AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围是________．
2?π?解析：设∠PCA＝θ，θ∈?0，?，所以PQ＝22sin θ.又cos θ＝，AC∈[3，＋
2?AC?∞)，所以cos θ∈?0，?
?2??0，2?，sin2θ＝1－cos2θ∈?7，1?，因为2
，所以cosθ∈?9??9??
????3?
θ∈?0，?，所以sin θ∈?2
?
?
?
?214?答案：?，22?
?3?
π?
?7??214?
，1?，所以PQ∈?，22?. ?3??3?
11．(2019·南京三模)在平面直角坐标系xOy中，已知MN是⊙C：(x－1)＋(y－2)＝2的一条弦，且CM⊥CN，P是MN的中点．当弦MN在圆C上运动时，直线l：x－3y－5＝0上存在两点A，B，使得∠APB≥
π
恒成立，则线段AB长度的最小值是________． 2
2
2
22
解析：因为MN是⊙C：(x－1)＋(y－2)＝2的一条弦，且CM⊥CN，P是MN的中点，所2
r＝1，点P的轨迹方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1.圆心C到直线l：x－3y－5＝0的2
|1－3×2－5|π
距离为2＝10.因为直线l上存在两点A，B，使得∠APB≥恒成立，所以ABmin
221＋（－3）以PC＝＝210＋2.
答案：210＋2
12．(2018·苏锡常镇调研)已知直线l：x－y＋2＝0与x轴交于点A，点P在直线l上．圆
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C：(x－2)＋y＝2上有且仅有一个点B满足AB⊥BP，则点P的横坐标的取值集合为________．
解析：法一：由AB⊥BP，得点B在以AP为直径的圆D上，所以圆D与圆C相切． 由题意得A(－2，0)，C(2，0)．若圆D与圆C外切，则DC－DA＝2；若圆D与圆C内
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