发布时间 : 星期三 文章高2021届高2018级苏教版步步高大一轮高三数学复习课件学案第八章 8.7更新完毕开始阅读
答案 34
解析 ∵由双曲线的定义得 PF1－PF2＝PF2＝2a＝22, ∴PF1＝2PF2＝42, 则cos∠FPFPF21＋PF22－F1F2
2
12＝2PF1·PF2
?42?2＋?22?2－42＝3
2×42×22
＝4.
双曲线的标准方程
1.(2020·合肥调研)已知双曲线的渐近线为y＝±2
2x,实轴长为4,则该双曲线的方程为( A.x24－y2
2
＝1 x2y2y2x2
B.4－8＝1或4－8＝1 C.x24－y2
8
＝1 x2y2y2x2
D.4－2＝1或4－8＝1 答案 D
解析 设双曲线方程为x22m－y2
m＝1(m≠0),
又2a＝4,∴a2＝4, 当m＞0时,2m＝4,m＝2； 当m＜0时,－m＝4,m＝－4.
故所求双曲线方程为x2y24－2＝1或y2x2
4－8
＝1.
)
x2y25x2
2.(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C:2－2＝1(a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为y＝x,且与椭圆ab212y2
＋＝1有公共焦点,则C的方程为( ) 3x2y2
A.－＝1 810x2y2
C.－＝1 54答案 B 解析 由y＝5b5x,可得＝.① 2a2
x2y2
B.－＝1 45x2y2
D.－＝1 43
x2y2
由椭圆＋＝1的焦点为(3,0),(－3,0),
123可得a2＋b2＝9.② 由①②可得a2＝4,b2＝5.
x2y2
所以C的方程为－＝1.故选B.
45
x2y2
3.过双曲线C:2－2＝1(a＞b＞0)的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于点A.若以
abC的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的标准方程为( ) x2y2
A.－＝1 412x2y2
C.－＝1 88答案 A
b
解析 因为渐近线y＝x与直线x＝a交于点A(a,b),c＝4且?4－a?2＋b2＝4,解得a2＝4,b2＝
ax2y2
12,因此双曲线的标准方程为－＝1.
412
4.经过点P(－3,27)和点Q(－62,－7)的双曲线方程为________. y2x2
答案 －＝1
2575
解析 设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn＞0),
??9m－28n＝1，∴?解得?72m－49n＝1，?
x2y2
B.－＝1 79x2y2
D.－＝1 124
??1n＝－?25，
1m＝－，
75
y2x2
∴双曲线方程为－＝1.
2575
思维升华 求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线定义,确定2a,2b或2c,从而求出a2,b2,写出双曲线方程.
(2)待定系数法:先确定焦点在x轴还是y轴,设出标准方程,再由条件确定a2,b2的值,即“先定型,x2y2
再定量”,如果焦点位置不好确定,可将双曲线方程设为2－2＝λ(λ≠0),再根据条件求λ的值.
mn注意 ①双曲线与椭圆标准方程均可记为mx2＋ny2＝1(mn≠0),其中当m＞0,n＞0,且m≠n时表示椭圆；当mn＜0时表示双曲线,合理使用这种形式可避免讨论. ②常见双曲线设法
(i)已知a＝b的双曲线可设为x2－y2＝λ(λ≠0)； (ii)已知过两点的双曲线可设为Ax2－By2＝1(AB＞0)；
xyx2y2
(iii)已知渐近线为±＝0的双曲线方程可设为2－2＝λ(λ≠0).
mnmn
双曲线的几何性质
命题点1 渐近线
1
例2 (1)已知双曲线9y2－m2x2＝1(m＞0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为,则m等于
5( )
A.1 B.2 C.3 D.4 答案 D
1
0，?,渐近线3y－mx＝0,则顶点到渐近线的距离为解析 由已知,取顶点??3?＝4.
(2)(2019·江苏)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线渐近线方程是____________. 答案 y＝±2x
x2－
y2
＝1(b＞0)经过点(3,4),则该双曲线的b211
＝,解得m32＋m25
y216
解析 因为双曲线x－2＝1(b＞0)经过点(3,4),所以9－2＝1,得b＝2,所以该双曲线的渐近
bb
2
线方程是y＝±2x. 命题点2 离心率
例3 (1)(2019·浙江)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是( ) A.
2
B.1 C.2 D.2 2
答案 C
解析 因为双曲线的渐近线方程为x±y＝0,所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上,都c
满足a＝b,所以c＝2a,所以双曲线的离心率e＝＝2.
a
x2y21
(2)(2019·唐山模拟)设双曲线C:2－2＝1(a＞b＞0)的两条渐近线的夹角为α,且cos α＝,则C
ab3的离心率为( ) A.
567
B. C. D.2 222
答案 B
b
解析 ∵a＞b＞0,∴渐近线y＝x的斜率小于1,
a1
∵两条渐近线的夹角为α,cos α＝.
3α2α1α1∴cos2＝,sin2＝,tan2＝,
232322b21c2－a21∴2＝,∴2＝, a2a236∴e2＝,∴e＝. 22
x2y2
(3)(2019·全国Ⅰ)双曲线C:2－2＝1(a＞0,b＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C的离心率
ab为( ) A.2sin 40° 1C. sin 50°答案 D
b
解析 由题意可得－＝tan 130°,
a所以e＝＝
b21＋2＝1＋tan2130°＝a
sin2130°1＋2 cos130°B.2cos 40° 1D. cos 50°
11
＝.
|cos 130°|cos 50°