发布时间 : 星期六 文章高2021届高2018级苏教版步步高大一轮高三数学复习课件学案第八章 8.7更新完毕开始阅读
§8.7 双曲线
1.双曲线的概念
平面内到两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 集合P＝{M||MF1－MF2|＝2a},F1F2＝2c＞2a,其中a,c为常数且a＞0,c＞0. 2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 x2y2－＝1 a2b2(a＞0,b＞0) y2x2－＝1 a2b2(a＞0,b＞0) 图形 范围 对称性 顶点 性 质 渐近线 离心率 x≥a或x≤－a,y∈R x∈R,y≤－a或y≥a 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 A1(－a,0),A2(a,0) by＝±x aA1(0,－a),A2(0,a) ay＝±x bce＝,e∈(1,＋∞),其中c＝a2＋b2 a线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长A1A2＝2a,线段B1B2实虚轴 叫做双曲线的虚轴,它的长B1B2＝2b；a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长 a,b,c 的关系
3.等轴双曲线
c2＝a2＋b2 (c＞a＞0,c＞b＞0) 实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其方程为x2－y2＝λ(λ≠0),离心率e＝2 ,渐近线方程为y＝±x.
4.双曲线的第二定义
平面内动点P到定点F的距离和它到定直线l(点F不在直线l上)的距离的比是常数e(e＞1)x2y2
的点的轨迹是双曲线.定点F是焦点,定直线l是准线,常数e是离心率.双曲线2－2＝1(a＞0,b
aba2y2x2a2
＞0)的准线方程为x＝±,双曲线2－2＝1(a＞0,b＞0)的准线方程为y＝±. cabc
概念方法微思考
1.平面内与两定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？
提示 不一定.当2a＝F1F2时,动点的轨迹是两条射线； 当2a＞F1F2时,动点的轨迹不存在；
当2a＝0时,动点的轨迹是线段F1F2的中垂线.
2.与椭圆标准方程相比较,双曲线标准方程中,a,b只限制a＞0,b＞0,二者没有大小要求,若a＞b＞0,a＝b＞0,0＜a＜b,双曲线哪些性质受影响？ c
提示 离心率受到影响.∵e＝＝a
b?21＋?当a＝b＞0时,e＝2?a?,故当a＞b＞0时,1＜e＜2；
(亦称等轴双曲线)；当0＜a＜b时,e＞2.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( × ) x2y2
(2)方程－＝1(mn＞0)表示焦点在x轴上的双曲线.( × )
mn
x2y2x2y2xy
(3)双曲线方程2－2＝λ(m＞0,n＞0,λ≠0)的渐近线方程是2－2＝0,即±＝0.( √ )
mnmnmn(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于2.( √ ) 题组二 教材改编
x2y2
2.若双曲线2－2＝1(a＞0,b＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率
ab为( )
A.5 B.5 C.2 D.2 答案 A
xy
解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长,双曲线的渐近线方程为±＝0,即bx±ay
ab＝0, ∴2a＝∴e2＝
bc
＝b.又a2＋b2＝c2,∴5a2＝c2. 22a＋b
c2
＝5,∴e＝5. a2
x2y2x2y2
3.已知a＞b＞0,椭圆C1的方程为2＋2＝1,双曲线C2的方程为2－2＝1,C1与C2的离心率之
abab积为3
,则C2的渐近线方程为( ) 2
B.2x±y＝0
A.x±2y＝0