发布时间 : 星期一 文章河南省洛阳市2019届高三第一次适应性考试（理科数学）更新完毕开始阅读
伊川县实验高中2018-2019学年上学期第一次适应性考试
高三理科数学试卷（答案）
一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）
1-5 ADACB 6-10 DDAAA 11-12 AC
二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13. -3 14. 2 15. (-∞,-3]?[0,6) 16. 6
17.（Ⅰ）解法一：由正弦定理得a?2RsinA，b?2RsinB，c?2RsinC.
故 sinBcosA?sinAcosB?sinC?sinA， 又 C???(A?B)，
故 sinBcosA?sinAcosB?sin?A?B??sinA，
即 sinBcosA?sinAcosB?sinAcosB?cosAsinB?sinA， 故 2sinAcosB?sinA. 因为 sinA?0， 故 cosB?1， 2 又 B为三角形的内角，
所以 B??3. ………………………5分
22b2?c2?a2a?c?b2A?,cBos?解法二：由余弦定理得 cos.
2bc2ac222 将上式代入bcosA?acosB?c?a 整理得b?a?c?ac．
1 故 cosB?，
2又 B为三角形内角，
?所以 B?． ………………………5分
3222（Ⅱ）解：因为b?a?c?2accosB．
222故 b?a?c?ac??a?c??3ac，
2由已知 a?c?5得
又因为 得 所以 解得
b2?25?3ac
1333S?ABC?acsinB?ac?.
244ac?3， b2?25?9，
b?4. ………………………………………………10分
18.解：（I）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，
依题意，有2(a4?2)?a3?a5， 代入a3?a4?a5?28， 得a4?8．
∴a3?a5?20． …………………………………2分
1?24??q?2?q??a1q?a1q?20∴?解之得?或?2 …………………6分 3a?1??1?a1q?8??a1?64∴an?2n?1或an?27?n． …………………………………8分
1?q??（II）又?an?单调递减，∴?2． …………………………………9分
??a1?64164(1?n)2?128(1?1)． …………………………………10分 则Sn?12n1?211n∴128(1?n)?127，即128?n?1，?2?128，
22?n?7．
故使Sn?128成立的正整数n的最小值为8．………………………12分 19.（Ⅰ）证明： ∵PD?面ABCD，AC?面ABCD， ∴PD?AC． 又∵底面ABCD是正方形， ∴BD?AC． 又∵PDBD?D， ∴AC?面PBD， 又∵AC?面PAC， ∴平面PAC?平面PBD． ………………………………………6分 （Ⅱ）解法一：如图建立空间直角坐标系D?xyz．
设BC?1，则PC?2，在Rt?PDC中，
PD?2?1?1.
∴P?1,0,0?、A?0,0,1?、B?0,1,1?、C?0,1,0?、
PC???1,1,0?、DA??0,0,1?．
∵E为PB的中点，E??111?,,?， ?222?∴DE??
?111?,,?． ?222?设n?(x,y,z)是平面ADE的一个法向量．
??n?DE?0则由? 可求得n???1,1,0?.
??n?DA?0由（Ⅰ）知AC是平面PBD的一个法向量， 且AC??0,1,?1?，
1，即?n,AC??60?. 2∴二面角A?ED?B的大小为60?． ………………………………………12分 解法二：设BC?1，则PC?2，
在Rt?PDC中，PD?2?1?1.
设ACBD?O，连接OE，过O作OF?DE于F， 连结AF，由（Ⅰ）知AO?面BDE. ∴AF在面BDE上的射影为OF， ∴AF?DE．
故?AFO为二面角A?ED?B的平面角.
11213在Rt?DOE中，DO?，DE?PB?，OE?DP?．
22222DO?OE6∴OF?， ?DE6AO?3. ∴tan?AFO?OF∴?AFO?60?.
∴cos?n,AC??即二面角A?ED?B的大小为60?． …………………………………12分 20．解：（Ⅰ）∵圆O过椭圆C的短轴端点，∴b=1， 又∵线段PQ长度的最大值为3， ∴a+1=3，即a=2， ∴椭圆C的标准方程为
．
（Ⅱ）由题意可设切线MN的方程为y=kx+t，即kx﹣y+t=0，则
，得k2=t2﹣1．①
联立得方程组
，消去y整理得（k2+4）x2+2ktx+t2﹣4=0．
其中△=（2kt）2﹣4（k2+4）（t2﹣4）=﹣16t2+16k2+64=48＞0， 设M（x1，y1），N（x2，y2），则
，
，
则．②
将①代入②得，∴，
而，等号成立当且仅当，即．
综上可知：（S△OMN）max=1．
21.解：（1）当a?5时，g(x)?(?x2?5x?3)ex，g(1)?e，g'(x)?(?x2?3x?2)ex，故切线的斜率为g'(1)?4e，
所以切线方程为y?e?4e(x?1)，即y?4ex?3e. （2）∵f'(x)?lnx?1，
x f'(x) f(x) 当t?1(0,) e- 单调递减 1 e0 极小值（最小值） 1(,??) e+ 单调递增 11时，在区间[t,t?2]上，f(x)为增函数，所以f(x)min?f(t)?tlnt，当0?t?ee11时，在区间[t,)内，f(x)为减函数，在区间(,t?2]上，f(x)为增函数，所以
ee11f(x)min?f()??.
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