发布时间 : 星期四 文章考研数学公式手册(完美版)更新完毕开始阅读
（5）?sinnxcosmxdx??-??2?0??,n?m sinnxcosmxdx???0,n?m????sinnxcosmxdx??cosnxcosmxdx??2?0sinnxcosmxdx?0 ??,n?m cosnxcosmxdx?0???0,n?m????2?01． 定积分的基本性质 (1)定积分只与被积函数和积分限有关，而与积分变量无关，即bbb?af(x)dx??f(t)dt??f(u)du?aabaab (2)?f(x)dx???f(x)dx (3)?dx?b?a ab定积分的概念和基本性质，定积分中值定理 (4)?[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx aaabbb(5)?kf(x)dx?k?f(x)dx(k为常数） aabb(6)?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx aacbcb(7)比较定理：设f(x)?g(x),x?[a,b],则?f(x)dx??g(x)dx. aabb推论：1.当f(x)?0,x?[a,b]时，?f(x)dx?0; ab2.|?f(x)dx|??|f(x)|dx aabb
(8)估值定理：设m?f(x)?M,x?[a,b],其中m,M为常数，则m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)ab (9)积分中值定理：设f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少?一个?,使?f(x)dx?(b?a)f(?)abf(?)?1bf(x)dx????平均值公式 b?a?aTh1设函数（fx）在[a，b]上连续，x?[a，b]，则变上限积分F（x）??f(t)dt对x可导ax 且有F'(x)?xddF(x)?(?f(t)dt)?f(x)dxdxa积分上限的函数及其导数，牛顿——莱布尼兹公式 推论1 设F(x)=??(x)af(t)dt,则F'(x)?f[?(x)]?'(x). 推论2 (?推论3(?a?(x)?(x)f(t)dt)'x?f[?(x)]?'(x)?f[?(x)]?'(x) f(t)g(x)dt)?(g(x)??(x)a?(x)'x?(x)af(t)dt)'x ?g'(x)?f(t)dt?g(x)f[?(x)]?'(x) Th2设f(x)在[a,b]上连续，x?[a,b],则 ?xaf(x)dt是f(x)在[a,b]上的一个原函数 F(x) Th3牛顿-莱布尼茨公式:设f(x)在[a,b]上连续，是f(x)的原函数，则?ba f(x)dx?F(x)|ba?F(b)?F(a)不定积分 1不定积分： 和定积分分部积分法：udv?uv??vdu选择u，dv的原则：积分?的换元积分法与分容易者选作dv，求导简单者选为u 部积分法 换元积分法：设?f(u)du?F(u)?C, 则?f[?(x)]?'(x)dx??f[?(x)]d?(x)设u??(x)?f(u)du?F(u)?C?F[?(x)]?C 2． 定积分 换法:设函数（ fx）在［a，b］上连续，若x＝（）满足：?t元(1)?(t)在［?，?］上连续，且?'(t)?0. (2)?(a)?a??(?)?b.并且当t在［?，?］上变化时，?（t）的值在［a，b］上变化，则 ?baf(x)dx????f[?(t)]?'(t)dt. 分部积分公式 设（ux），（vx）在［a，b］上具有连续导函数u'(x),v'(x),则?abau(x)v'(x)dx?u(x)v(x)|b??v(x)u'(x)dx ba3． 定积分不等式证明中常用的不等式 (1)a2?b2?2ab (2)a?0,a?(3)柯西不等式：
1?2 a(?f(x)g(x)dx)2?ab??baf2(x)dx???g(x)dx?, b2a其中（fx），（gx）在［a，b］上连续1． 三角函数代换 函数f(x)含根式 所作代换 三角形示意图 有理函数，三角函数的有理式和简单无理函数的积分，广义积分和定积分的应 用 a2?x2 x?asint a2?x2 x?atant x2?a2 有理函数积分 x?asect (1)?(2)?Adx?Aln|x?a|?C x?aAA1dx???C(n?1) nn?1(x?a)n?1(x?a)