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电磁感应现象中的“杆+导轨”模型专题
解决电磁感应电路问题的关键就是借鉴或利用相似原型来启发理解和变换物理模型，即把电磁感应的问题等效转换成稳恒直流电路，把产生感应电动势的那部分导体等效为内电路.感应电动势的大小相当于电源电动势.其余部分相当于外电路，并画出等效电路图.此时，处理问题的方法与闭合电路求解基本一致，惟一要注意的是电磁感应现象中，有时导体两端有电压，但没有电流流过，这类似电源两端有电势差但没有接入电路时，电流为零。
变换物理模型，是将陌生的物理模型与熟悉的物理模型相比较，分析异同并从中挖掘其内在联系，从而建立起熟悉模型与未知现象之间相互关系的一种特殊解题方法.巧妙地运用“类同”变换，“类似”变换，“类异”变换，可使复杂、陌生、抽象的问题变成简单、熟悉、具体的题型，从而使问题大为简化.
电磁感应现象部分的知识历来是高考的重点、热点，出题时可将力学、电磁学等知识溶于一体，能很好地考查学生的理解、推理、分析综合及应用数学处理物理问题的能力．通过近年高考题的研究，此部分每年都有“杆+导轨”模型的高考题出现。
一、命题演变
“杆+导轨”模型类试题命题的“基本道具”：导轨、金属棒、磁场，其变化点有： 1．导轨
（1）导轨的形状：常见导轨的形状为U形，还可以为圆形、三角形、三角函数图形等； （2）导轨的闭合性：导轨本身可以不闭合，也可闭合； （3）导轨电阻：不计、均匀分布或部分有电阻、串上外电阻； （4）导轨的放置：水平、竖直、倾斜放置等等．
[例1]（2003·上海·22）如图1所示，OACO为置于水平面内的光滑闭合金属导轨，O、C处分别接有短电阻丝（图中粗线表法），R1= 4Ω、R2=8Ω（导轨其它部分电阻不计）．导轨OAC的形状满足方程y=2sin?（x）（单位：m）．磁感强度B=0.2T的匀强磁场方向垂直于导轨平面．一足够长的金属棒在水平外力F
3作用下，以恒定的速率v=5.0m/s水平向右在导轨上从O点滑动到C点，棒与导轨接触良好且始终保持与OC导轨垂直，不计棒的电阻．求：
（1）外力F的最大值；
（2）金属棒在导轨上运动时电阻丝R1上消耗的最大功率； （3）在滑动过程中通过金属棒的电流I与时间t的关系．
解析：本题难点在于导轨呈三角函数图形形状，金属棒的有效长度随时间而变化，但第（1）（2）问均求的是某一状态所对应的物理量，降低了一定的难度．解第（3）问时可根据条件推导出外力F的表达式及电流I与时间t的关系式，由三角函数和其他条件求出需要的量即可．
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（1）金属棒匀速运动F外=F安 ，当安培力为最大值时，外力有最大值． 又∵E=BLv I?ER总
∴F安=BIL=
BLvR总22
图1
即当L取最大值时，安培力有最大值
?∵Lmax=2sin =2（m）
2R总? R1R2R1?R222?83（Ω）
∴Fmax?BLmaxvR总
代入数据得Fmax=0.3（N）
（2）R1、R2相并联，由电阻丝R1上的功率P1?2222222E2R1，可知当L?Lmax时P1有最大功率，即
Pmax?EmaxR1?BLmaxvR1? 0.2?2?5.04?1（W）
（3）金属棒与导轨接触点间的长度随时间变化 L=2sin（
ER总BLvR总345?3?3x）（m）且x=vt，E=BLv
∴ I=?= sin（t）（A）
2．金属棒
（1）金属棒的受力情况：受安培力以外的拉力、阻力或仅受安培力； （2）金属棒的初始状态：静止或运动；
（3）金属棒的运动状态：匀速、匀变速、非匀变速直线运动，转动； （4）金属棒割磁感线状况：整体切割磁感线或部分切割磁感线；
（5）金属棒与导轨的连接：金属棒可整体或部分接入电路，即金属棒的有效长度问题． 3．磁场
（1）磁场的状态：磁场可以是稳定不变的，也可以均匀变化或非均匀变化． （2）磁场的分布：有界或无界．
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二、模型转换
电磁感应现象考查的知识重点是法拉第电磁感应定律，根据法拉第电磁感应定律的表达式
E?n???t?n?(BS)?t，有下列四个模型转换：
1．B变化，S不变 （1）B均匀变化 ①B随时间均匀变化
如果B随时间均匀变化，则可以写出B关于时间t的表达式，再用法拉第电磁感应定律解题，如例2第（1）问．
②B随位置均匀变化
B随位置均匀变化的解题方法类似于B随时间均匀变化的情形． （2）B非均匀变化
B非均匀变化的情况在高中并不多见，如例2第（3）问．如果题目给出了B非均匀变化的表达式，也可用后面给出的求导法求解．
[例2]（2000·上海·23）如图2所示，固定于水平桌面上的金属框架cdef，处在竖直向下的匀强磁场中，金属棒ab搁在框架上，可无摩擦滑动．此时abed构成一个边长为l的正方形，棒的电阻为r，其余部分电阻不计．开始磁感强度为B0．
（1）若从t=0时刻起，磁感强度均匀增加，每秒增量为k，同时棒保持静止．求棒中的感应电流．在图上标出感应电流的方向；
（2）在上述（1）情况中，始终保持棒静止，当t=t1末时需加的垂直于棒的水平拉力为多大？ （3）若t=0时刻起，磁感强度逐渐减小，当棒以恒定速度v向右做匀速运动时，可使棒中不产生感应电流，则磁感强度应怎样随时间变化（写出B与t的关系式）？
解析：将加速度的定义式和电磁感应定律的表达式类比，弄清k的物理意义，写出可与vt?v0?at相对照的B的表达式B?B0?kt；第（3）问中B、S均在变化，要能抓住产生感应电流的条件（①回路闭合；②回路中有磁通量的变化）解题．
（1）磁感强度均匀增加，每秒增量为k，得∵感应电动势E????t??B?tS?kl
2d
× × × e B0 × × × a × × × b 图2
× × × c ?B?tf ?k
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∴感应电流I? Er?klr2
由楞次定律可判定感应电流方向为逆时针，棒ab上的电流方向为b→a． （2）t=t1时，B=B0+kt1 又∵F=BIl ∴F?(B0?kt1)klr3
（3）∵棒中不产生感应电流 ∴回路中总磁通量不变 ∴Bl（l+vt）=B0l2 得B? B0ll?vt
2．B不变，S变化
（1）金属棒运动导致S变化
金属棒在匀强磁场中做切割磁感线的运动时，其感应电动势的常用计算公式为E?BLv，此类题型较常见，如例3．
[例3]（2002·上海·22）如图3所示，两条互相平行的光滑金属导轨位于水平面内，距离为l=0.2m，在导轨的一端接有阻值为R=0.5Ω的电阻，在x≥0处有一与水平面垂直的均匀磁场，磁感强度B=0.5T．一质量为m=0.1kg的金属直杆垂直放置在导轨上，并以v0=2m/s的初速度进入磁场，在安培力和一垂直于杆的水平外力
F的共同作用下做匀变速直线运动，加速度大小为a=2m/s2、方向与初速度方向相反．设导轨和金属杆的电阻都可以忽略，且接触良好．求：
（1）电流为零时金属杆所处的位置；
（2）电流为最大值的一半时施加在金属杆上外力F的大小和方向；
（3）保持其他条件不变，而初速度v0取不同值，求开始时F的方向与初速度v0取值的关系． 解析：杆在水平外力F和安培力的共同作用下做匀变速直线运动，加速度a方向向左．杆的运动过程：向右匀减速运动→速度为零→向左匀加速运动；外力F方向的判断方法：先假设，再根据结果的正负号判断．
（1）感应电动势E=Blv，感应电流I= ER?BlvR× m a × × O × × × v0 × × 图3 × × × × B × × × × l x R
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