发布时间 : 星期二 文章导数压轴题归纳更新完毕开始阅读
选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 1.（北京市东城区示范校2009—2010学年度第一学期联考）设a?R，函数f(x)?ax?3x．
（Ⅰ）若x?2是函数y?f(x)的极值点，求实数a的值；
（Ⅱ）若函数g(x)?ef(x)在[0，2]上是单调减函数，求实数a的取值范围． 解：（Ⅰ）f?(x)?3ax?6x?3x(ax?2)．
因为x?2是函数y?f(x)的极值点，所以f?(2)?0，即6(2a?2)?0， 所以a?1．经检验，当a?1时，x?2是函数y?f(x)的极值点．
即a?1． ???????6分 （Ⅱ）由题设，g(x)?e(ax?3x?3ax?6x)，又e?0， 所以，?x?(0,2]，ax?3x?3ax?6x?0，
322'x322232xx3x2?6x3x?6?2这等价于，不等式a?3对x?(0,2]恒成立． 2x?3xx?3x令h(x)?'3x?6（x?(0,2]），
x2?3x3(x2?4x?6)3[(x?2)2?2]???0， 则h(x)??2222(x?3x)(x?3x)所以h(x)在区间（0,2]上是减函数， 所以h(x)的最小值为h(2)?所以a?6． 566．即实数a的取值范围为(??,]． ???????13分 55
3.（福建厦门外国语学校2009年11月高三月考试卷） 已知函数f(x)?1312ax?bx?cx. 329，x1x3??12， 2（Ⅰ）若函数f(x)有三个零点x1,x2,x3，且x1?x2?x3?求函数 f(x)的单调区间； （Ⅱ）若f?(1)??并说明理由.
1a，3a?2c?2b，试问：导函数f?(x)在区间(0，2)内是否有零点， 2b的取值范围. a（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若导函数f?(x)的两个零点之间的距离不小于3，求选校网 www.xuanxiao.com 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库
选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 【解】（I）因为f(x)?x(ax2? x2?0,x1?x3?1319bx?c)，又x1?x2?x3?，x1x3??12则 229,x1?x3??12 （1分） 211因为x1，x3是方程ax2?bx?c?0的两根，则
323b93c??，??12，.即b??3a,c??4a （3分） 2a2a13从而：f(x)?ax3?ax2?4ax，
32/2所以f(x)?ax?3ax?4a?a(x?4)(x?1).
令 f(x)?0 解得：x??1,x?4 （4分） 故f(x)的单调递减区间是（1，4），单调递增区间是(??,1),(4,??) 。 （6分）
2（Ⅱ）因为f?(x)?ax?bx?c，f?(1)??/11a，所以a?b?c??a，即3a?2b?2c?0. 22因为3a?2c?2b，所以3a?0,2b?0，即a?0,b?0. （7分）
a于是f?(1)???0，f?(0)?c，f?(2)?4a?2b?c?4a?(3a?2c)?c?a?c. （8分）
2a（1）当c?0时，因为f?(0?)至少有一个零点. )c?0?f,?(?1)?，则0f?(x)在区间(0,1内
2（9分）
（2）当c?0时，因为f?(1)??故导函数f?(x)在区间(0，2)内至少有一个零点. （10分）
2（Ⅲ）设m，n是导函数f?(x)?ax?bx?c的两个零点，则m?n??a?0,f?(2)?a?c?0，则f?(x)在区间（1，2）内至少有一零点. 2bc3b，mn????. aa2a所以|m?n|?b3bb(m?n)2?4mn?(?)2?4(??)?(?2)2?2.
a2aa2由已知，(?2)?2?3，则(?2)2?2?3，即(?2)2?1.
babababbbb?2?1或?2??1，即??1或??3. （12分） aaaa3又2c??3a?2b，3a?2c?2b，所以3a??3a?2b?2b，即?3a?b??a.
4b3因为a?0，所以?3???.
a4b3综上分析，的取值范围是[?1,?). （14分）
a4所以
4.(2010届沈阳市四校协作体高三联考) 已知函数f(x)?(ax?1)a（I）讨论f(x)的单调性,并求出极值点x0.
?x,a?0且a?1.
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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 （II）若（I）中的x0?g(a).求y?g(x)在(1,e]上的最小值. 解：（I）当0?a?1时, f(x)在(??,a?lnaa?lna)上单调递减,在(,??)上单调递
alnaalna增, ――――――――――――――――――――――――――――――――(3分) 当a?1时, f(x)在上(极值点x0?a?lnaa?lna,??)单调递减,在(??,)上单调递增. ――(5分)
alnaalnaa?lna―――――――――――――――――――――――――――(6分)
alna1（II）g(x)min?1?――――――――――――――――――――――――――(12分)
e
7.(山东省威海市2010届高三上学期教学质量检测)
已知函数f(x)?x．（Ⅰ）求函数f(x)的单调减区间和极值; lnxx?（Ⅱ）当x?1时，若ee?x恒成立，求实数?的取值范围．
解：（Ⅰ）函数f(x)?x的定义域为(0,1)?(1,??)， 2分 lnxf/(x)?x
f/(x)
lnx?1/，令f(x)?0，解得x?e，列表 2lnxe
(e,??) (0,1) (1,e)
－
0
+ 单调递增
－
f(x)
单调递减 单调递减
极小值f(e)
由表得函数f(x)的单调减区间为(0,1)，(1,e);极小值为f(e)＝e，无极大值. 6分 （Ⅱ）因为x?1，所以lnx?0
x在ee?x两边取自然对数，由（1）知
?xx，即?lnx?e?， 12分 ?lnxex?的最小值为e，所以只需e?e，即??1. 14分 lnx11.（台州中学2009-2010学年第一学期期中试题）已知a?0，函数f(x)?ln(2?x)?ax.
（1）设曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线为l，若l与圆(x?1)?y?1相切，
求a的值；
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22选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 （2）求函数f(x)的单调区间； （3）求函数f(x)在[0，1]上的最小值。
解：（1）依题意有x?2，f?(x)?a?1（1分） x?2过点(1,f(1))的直线斜率为a?1，所以过(1,a)点的直线方程为y?a?(a?1)(x?1)（2分） 又已知圆的圆心为(?1,0)，半径为1 ∴
|1?a?1|(a?1)?12?1，解得a?1（3分）
ax?2a?111 ?a[x?(2?)]?x?2ax?21当a?0时，2??2（5分）
a11令f?(x)?0，解得x?2?，令f?(x)?0，解得2??x?2
aa11所以f(x)的增区间为(??,2?)，减区间是(2?,2)（7分）
aa11（3）当2??0，即0?a?时，f(x)在[0，1]上是减函数
a2（2）f?(x)?所以f(x)的最小值为f(1)?a（9分） 当0?2?11?1即?a?1时 a211f(x)在(0,2?)上是增函数，在(2?,1)是减函数
aa所以需要比较f(0)?ln2和f(1)?a两个值的大小（11分）
1212因为e?3?2?e，所以∴ 当
1?ln3?ln2?lne?1 21?a?ln2时最小值为a，当ln2?a?1时，最小值为ln2（12分） 21当2??1，即a?1时，f(x)在[0，1]上是增函数
a所以最小值为ln2.
综上，当0?a?ln2时，f(x)为最小值为a 当a?ln2时，f(x)的最小值为ln2（14分）
2.（广东省东华高级中学2010届高三上学期摸底考试）
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