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要点 1.高阶导数 2. 微分与导数的关系 §3.3高阶导数
当物体作变速直线运动，假定其运动方程为S?tf(t)?(路程S是时间
?ddtf(t)的函数)。则物体在时刻t的瞬时速度为V?dsdt（即
V?S??f?(t)?f(t)）.
而速度V对时间的导数dV就称为物体在时刻tdt的加速度a，∴a?dVdt?ddt(dsdt?)?dsdt22(整体符号), 或记为
a?V??(S?)??S??，S??称为S对t的二阶导数。
S?12gt,2例如，自由落体的运动方程为
V?S??(12gt)??2 其瞬时速度
.
12g?2t?gt.而物体的加速度a?S???V??(gt)??g 一般地，如果函数y?f(x)的导数f?(x)在点x处可导，则称f?(x)在
点x处的导数为函数f(x)在点x处的二阶导数, 记作 类似y?
f??(x),y??或f(x)
dydx22,(ddx(dydx)?dydx22).
的三阶导数是f??(x)的导数，记作
dydx33f???(x),y???,或.
(dydx33?(ddx(dydx22)).
y?f(x)的n阶导数为y?f(x)的(n?1)阶导数的导数：
y(n)?[y(n?1)]?，
dydxnn?ddx(dn?1ydxn?1).
和一阶导数类似，要注意下列符号的含义：
f??(x0)?f??(x)x?x,???,f0(n)(x0)?f(n)(x)x?x0
（
f??(x0)不是[f?(x0)]?x）
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例3.1 求y?解
y??4x3x4的各阶导数。
2(4)，y???12x，y????24x，yx?24，y(5)?y(6)?????0.
例3.2 求y?e的n阶导数。 解 ∵
(e)??exx，∴
y(n)?dedxnnx?ex.
例3.3 求y?sinx 的n阶导数. 解
y??(sixn)??cosx?sinx(??2).
y???(sinx)???[sin(x??2)]??[cos(x??2)]?(x??2)??sin(x?2??2?2).?2
)?sin(x?3?y????[sin(x?2?)]??cos(x?2??2).
??
y(n)?(sinx)(n)?sin(x?n??2).
同理有 (cosx)(n)?cos(x?n??2).
例3.4 设y?ax解
y??alnaxx(a?0,a?1)，求y(n).
.
xx2y???(alna)??lna(a)??a(lna).
??
y(n)?a(lna).
xn 2
例3.5 已知xy?sin(?y)?0.求y?(0,?1),y??(0,?1). 2解 （此为隐函数求导）方程两边对x求导，得
(y?xy?)?cos(?y2)?(2?yy?)?0……(*)
解出 y???y1x?2?ycos(?y2). ∴
y?(0,?1)?2?cos???12?.
为求
y??，将(*)两边再对x求导数，得
y??(y??xy??)?[2?y?2?cos(?y2)?2?yy??cos(?y2)?2?yy?sin(?y2)?2?yy?]?0.
解出
222222y???2?y?cos(?y)?4?yy?sin(?y)?2y?x?2?ycos(?y2)
∴
y??(0,?1)??14?2.
例3.5 设
?x?2lnctgt2?.
?y?tgt，求 dydx2dy1解
dy2dx?dtdx?cost??cost?sint?1.
dt2?1?12?cos2t?2?tgtctgt?sin2td2ydddx2?dx(dydx)?ddt(dydx)?dtdx?dt(?12tgt)?1dx
dt
??111?1?11212?co2st?(2?ctg?tsin2t)?14?co2st?ctg?tsint?4tgt. 显然有公式 ：(u?v)(n)?u(n)?v(n).而
(uv)??u?v?uv?,(uv)???(u?v?uv?)??u??v?2u?v??uv??,(uv)????u???v?3u??v??3u?v???uv???,...
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d2ydx2不能分）（
用数学归纳法可证
(uv)(n)?u(n)v?Cnu1(n?1)v??Cnukn(n?k)2(n?2)(k)v???...(n)?Cuv?...?uv.……(1)
其中Ckn?n(n?1)...(n?k?1)k!,(1)叫Leibniz公式。
作业 115页。11（1，4），12，13（4，8），18，22。 §3.4 微分（Differentials） 一. 微分的定义：先看一个例子。
给一个边长为x的正方形，其面积S是x的函数S长x一个改变量?x，则 函数S相应地取得一个改变量
?s?(x??x)?x?2x??x?(?x)222?x2， 如果给边
此式包括两部分：第一部分是改变量?x的线性函数2x??x. 第二部分是改变量?x的二次方(?x). 当?x?0时，(?x)是关于?x的高阶无
22穷小（∵lim(?x)?x2?x?0?lim?x?0.）因此，当?x?x?0很小时，我们可以用
第一部分（线性部分）2x??x来近似地表示函数的改变量?S，而将第二部分（高阶无穷小量部分）忽略掉，其误差?S?2x??x只是一个比?x高阶的无穷小量。我们把函数S的改变量?S的线性部分
2x??x叫做函数S的微分。记作dS，即函数S?x2的微分dS?2x??x.
把上面的几何问题加以数学抽象，就有如下微分定义： 设函数y?f(x)在点x0及其附近有定义，给x以改变量?x，得到函
0数的相应改变量?y?f(x0??x)?f(x0).如果存在一个常数A（与?x无
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