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《数学模型》复习资料
第一部分（简答题）
1．叙述模型和数学模型的概念，并举例说明.
（1）模型是指为了某个特定的目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。 （2）对某一实际问题应用数学语言和方法,通过抽象、简化、假设等对这一实际问题近似刻划所得的数学结构,称为此实际问题的一个数学模型. 2．写出数学建模过程流程图;
数学建模过程流程图为： 实际问题 抽象、简化、假设 确定变量、参数 归结 数学模型 数学地、数值地
求解模型 估计参数
否 检验模型 (用实例或有关知识) 是 符合否？ 评价、推广并交付使用 产生经济、社会效益 3．建立数学模型的基本步骤有哪些？
1． 模型准备(背景、目的、现象、数据、特征)
2． 模型假设(合理性、简化性.但过份简单、过份详细都不对,或反映不了原问题或无法表达模型,要充分发挥想象力、洞察力、判断力,不断修改或补充假设) 3． 模型构成(建立数学结构)
4． 模型求解(包括推理、证明、数学地或数值地求解)
5． 模型分析(数学意义分析、合理性分析、误差分析、灵敏性分析) 6． 模型检验(接受实际检验、往往在假设上) 7． 模型应用(取决于建模的目的)
4．写出5个数学模型按照应用领域分类的模型名称.
?人口模型??交通模型?环境模型（污染模型）??按模型的应用领域分类 数学模型 ?生态模型
?城镇规划模型??水资源模型???再生资源利用模型5．写出5个按照建立数学模型的数学方法分类的模型名称.
?初等数学模型??几何模型?微分方程模型??按建模的数学方法分类数学模型 ?图论模型
?组合数学模型??概率模型???规划论模型6．写出5个数学模型按照建模目的分类的模型名称.
?描述模型??分析模型??预报模型按建模目的来分类 数学模型 ?
?优化模型?决策模型???控制模型7. 长方形椅子摆放问题、人口问题（习题8）、习题9.{这些以小题形式出现} （1）椅子摆放问题认真看书，要知道模型的假设和模型。（6-7页）
（2）人口问题也要知道模型是怎么建的，两种模型，指数增长和阻滞增长（9-13页） （3）习题8和习题9的解答过程如下（考小题，这里大家要理解是如何做的）（23页） 8. 假定人口的增长服从这样的规律：时刻t的人口为x(t),单位时间内人口的增量与
xm?x(t)成正比（其中xm为最大容量）.试建立模型并求解.作出解的图形并与指数增长模
型、阻滞增长模型的结果比较.
解：现考察某地区的人口数，记时刻t的人口数为x?t?（一般x?t?是很大的整数）,且设x?t?为连续可微函数.又设x?t?|t?0?x0.任给时刻t及时间增量?t,因为单位时间内人口增长量与xm?x(t)成正比, 假设其比例系数为常数r.则t到t??t内人口的增量为：
x?t??t??x?t??r(xm?x?t?)?t. 两边除以?t,并令?t?0,得到
?dx??r(xm?x)?rt 解为x(t)?xm?(xm?x0)e ?dt??x(0)?x0
如图实线所示，
x 指数模型 当t充分大时 xm 它与Logistic模型相近.
x0 Logistic模型 o t
9．为了培养想象力、洞察力和判断力，考察对象时除了从正面分析外，还常常需要从侧面 或反面思考.试尽可能迅速回答下面问题：
（1） 某甲早8：00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿. 次日早8：00沿同一路径下山，下午5：00回到旅店.某乙说，甲必在两天中的同一时刻经 过路径中的同一地点.为什么？
（2） 37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者 进入下一轮，直至比赛结束.问共需进行多少场比赛，共需进行多少轮比赛.如果是n支球队比赛呢？
解：（1）方法一：以时间t为横坐标，以沿上山路径从山下旅店到山顶的行程x为纵坐标， 第一天的行程x(t)可用曲线（?）表示 ，第二天的行程x(t)可用曲线（??）表示，（?）（??）是连续曲线必有交点p0(t0,d0),
两天都在t0时刻经过d0地点. x d
方法二：设想有两个人， (?) 一人上山，一人下山，同一天同 p0 时出发，沿同一路径,必定相遇. d0 (??) t
早8 t0 晚5
方法三：我们以山下旅店为始点记路程,设从山下旅店到山顶的路程函数为f(t)(即t时刻走的路程为f(t)),同样设从山顶到山下旅店的路函数为g(t),并设山下旅店到山顶的距离
为a(a>0).由题意知：f(8)?0,f(17)?a,g(8)?a,g(17)?0.令h(t)?f(t)?g(t),则有h(8)?f(8)?g(8)??a?0，h(17)?f(17)?g(17)?a?0，由于f(t),g(t)都是时间t的连续函数,因此h(t)也是时间t的连续函数,由连续函数的介值定理,?t0?[8,17],使h(t0)?0,即f(t0)?g(t0).
（2）36场比赛，因为除冠军队外，每队都负一场；6轮比赛，因为2队赛1轮，4队赛2轮，32队赛5轮. n队需赛n?1场，若2k?1?n?2k，则需赛k轮.
8．传染病模型、战争模型、房室模型、军备竞赛模型.
传染病模型（三个）见课本【136页（5）式，137页（9）式，139页（14）式】 战争模型见课本【148页（1）式，149页（3）式150页（8）（9）式】 房室模型见课本【154页（3）式】
军备竞赛模型见课本【181页（1）式，军备竞赛模型要能够计算它的平衡点181页（2）式-182页（3）（4）（5）式。
9．层次分析模型（写出层次结构图、层次分析步骤等）.
这里给出两个例子：层次分析模型大家要能够根据题目的已知条件画出层次结构，【课本231页】几个基本步骤要知道，【课本235页】那些图作为参考大家要理解是怎么构造的。 （1）于省时、收入、岸间商业、当地商业、建筑就业等五项因素，拟用层次分析法在建桥梁、修隧道、设渡轮这三个方案中选一个，画出目标为“越海方案的最优经济效益”的层次结构图.
解：目标层 越海方案的最优经济效益
准则层
省收岸间当地建筑
时 入 商 业 商业 就 业
方案层 建桥梁 修隧道 设渡轮