发布时间 : 星期六 文章考研数学复习（概率统计）更新完毕开始阅读
2）
求c,d的值，使Z?c(X1???Xm)dX2m?1???X2n服从t分布；
3）
2e(X12???Xm)求e,f的值，使U?服从F分布, 22f(Xm?1???Xn)例6：在天平上重复称量一重为a的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布N(a,0.22)。若以Xn表示n次称量结果的算术平均值，则为使
P{|Xn?a|?0.1}?0.95
n的最小值不小于自然数 , 1n 例7：设X1,X2,?,Xn是来自正态总体N(?,?)的样本，令U??Xi??
ni?12试求U的数学期望与方差,
例8：从正态总体N(?,?2)中抽取一容量为15的样本，S为样本方差，?，?均为未知的数，求
1）P{2
2
S22??2.041}；2）DS2
3）假定样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上的概率为0.02，求总体的标准差。 例9：设总体X,Y相互独立且都服从正态分布N(a,?)，在X,Y中分别抽取容量为n的样本，其均值分别为X,Y，如果P{|X?Y|??}?0.01，问样本容量n最多是多少？ （?(2.58)?0.9951）
例10：（2008）设X1,X2,?,Xn是总体N(?,?)的简单随机样本，记
2121n1n2T?X?S X??Xi，S?，(X?X)?inni?1n?1i?12221） 2）
证明T是?的无偏估计量； 当??0,??1时，求DT,
2（答案：2）DT?
2）
n(n?1)二．参数估计
?e?(x??),x??例1：设总体X~f(x,?)??
x???0,（X1,?Xn）是总体X的样本，求?的矩估计量和极大似然估计量,
1?1?,x?1??例2：（2004）设总体X的分布函数为F(x,?)??，（??1)，X1,?,Xn x??0,x?1是总体X的样本，求未知参数?的矩估计量和最大似然估计量,
例3：（2002）设总体X的分布律为：
X P （0
0 1 2 3 ?2 2?(1??) ?2 1-2? 1），若已知样本值为3，1，3，0，3，1，2，3，求?的矩估计值和最大似然估计2?2e?2(x??),x??例4：设总体X~f(x,?)??x???0,(??0)
其中?>0是未知参数，从总体X中抽取简单随机样本X1,?,Xn，记??=min(X1,?,Xn)
1）求总体X的分布函数F(x)； 2）求??的分布函数F?(x)；
3）如果用??作为?的估计量，讨论它是否具有无偏性, 例5：设（X1,?,Xn）是总体X~N(?,?)的样本,
2??k|X?X|是?的无偏估计量； 1）求k，使??i1i?1n??c2）求c，使?22?(Xi?1n?1i?1?Xi)2是?2的无偏估计量；
2例
6：设X1,?,Xn是总体N(??,的)简单随机样本，记
11n1n2X??Xi,S?(Xi?X)2， T?X2?S2, 证明： ?nni?1n?1i?1 1）T是?2的无偏估计量； 2) 当??0,??1时，求DT,
例7：设总体X的方差为1，根据来自X的容量为100的样本，测得样本均值为5，则
X的数学期望的置信度近似等于0.95的置信区间为 , 例8：设总体X的密度函数为
1???(x,?)?e,2?x???x???,??0
X1,?,Xn是来自总体X的样本，试求：1）?的最大似然估计量??；2）证明在一切形为
{??iXi,?i?0,??i?1}的估计量中，??的方差最小,
i?1n例9：设总体X服从[0,?]上的均匀分布，X1,?,Xn是来自总体X的样本，1）求?的极大似然估计量；2）证明T1?求?的矩估计量,
n?1maxXi和T2?(n?1)minXi均是?的无偏估计；3）
1?i?nn1?i?n 例10：设总体X服从N(?,?2)，?，?2均为未知的数，设X1,?,Xn是来自总体X的样本，求关于?的置信度为1??的置信区间的长度L平方的数学期望, 例11：设从均值为?，方差为?2?0的总体中分别抽取容量为n1,n2的独立样本，样
本均值分布记为X2,X2，试证对于任意满足条件a?b?1的常数a和b，T?aX1?bX2都是?的无偏估计，并确定常数a和b，使方差D(T)达到最小,
例12：（2007）设总体X的概率密度为
?1?2?,0?x????1,??x?1 f(x,?)??2(1??)?其他0???其中参数?(0???1)未知，X1,?,Xn是来自总体X的简单随机样本，X是样本均值。
1）
求参数?的矩估计量??；
2）
判断4X是否为?的无偏估计量，并说明理由, （答案：1）???2X?221；2）不是） 2例13：（2009）设总体X的概率密度为
??2xe??x,x?0f(x)??
其他0,?其中参数?(??0)未知，X1,?,Xn是来自总体X的简单随机样本,
1）求参数?的矩估计量；2）求参数?的最大似然估计量,
^22（答案：1）?1?；2）?2?）
XX^例14：（2010）设总体X的分布为：
X P 1 2 3 1?? ???2 ?2 其中参数?(0???1)未知，以Ni表示来自总体X的简单随机样本（样本容量为n）中等于i的个数（i?1,2,3）, 试求常数a1,a2,a3，使T?方差,
（答案：a1?0,a2?a3??aNii?13i为?的无偏估计量，并求T的
1?(1??)；DT? ） nn三．假设检验
例1：设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机抽取36位考生的成绩，算得平
均成绩为66.5分，标准差为15分。1)问在显著水平0.05下，是否可以认为这次考试考生的平均成绩为70分？2）求全体考生平均成绩的置信度为0.95的置信区间；3）在显著水平0.05下，是否可以认为这次考试考生的成绩的方差为16？
2例2：某机床加工某种零件，以往加工的零件内径的平均值为52.8mm，方差为
1.62mm2。经技术革新后，抽取9个样本，测得内径平均值为52.77mm，样本标准差为1.09mm。假设零件内径服从正态分布，问在检验水平??0.05下，革新后零件的内径的
均值有无显著变化，为什么？