发布时间 : 星期三 文章考研数学复习（概率统计）更新完毕开始阅读
1）求相继两次故障时间间隔T的概率分布；
2）求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率。
t?0?0,?8? （答案：1）F(t)?? 2）e ） ??t?1?e,t?0例13：(2009) 设随机变量X的分布函数为F(x)?0.3?(x)?0.7?(为标准正态分布的分布函数，则EX?
（A）0 （B）0.3 （C）0.7 （D）1 （答案：（C））
x?1)，其中?(x)2?0,x?0?1例14：(2010)设随机变量X的分布函数为F(x)??,0?x?1 则P{X?1}?
?2?xx?1?1?e11?1?1（A）0 （B） （C）?e （D）1?e
22（答案：（C））
例15：(2010) 设f1(x)为标准正态分布的概率密度，f2(x)为[?1,3]上均匀分布的概率密度，若
?af1(x),x?0 f(x)?? (a?0,b?0)
bf(x),x?0?2为概率密度，则a,b应该满足
2a?3b?4 （B）3a?2b?4 （C）a?b?1 （D）a?b?2 （A）
（答案：（A））
例16：(2011) 设F1(x),F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x),f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是
（A）
f1(x)f2(x) （B）2f2(x)F1(x)
（C）f1(x)F2(x) （D）f1(x)F2(x)?f2(x)F1(x) （答案：（D））
二．二维随机变量及其分布
例1： 设X1和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为
f1(x),f2(x),它们的分布函数分别为F1(x),F2(x)，则（ ）
（A）f1(x)?f2(x)必为某一随机变量的概率密度 （B）f1(x)?f2(x)必为某一随机变量的概率密度 （C）F1(x)?F2(x)必为某一随机变量的分布函数 （D）F1(x)?F2(x)必为某一随机变量的分布函数
例2： （2006）设随机变量X服从正态分布N(?1,?12)，随机变量Y服从正态分布
2N(?2,?2)，且 P{|X??1|?1}?P{|Y??2|?1}，则必有（ ）
（A）?1??2； （B）?1??2； （C）?1??2； （D）?1??2。
??10例3：设Xi~?11??42（ ）。
（A）0 （B）
1??1? (i?1,2)，且满足P(X1X2?0}?1，则P{X1?X2}?4?11 （C） （D）1 42??101??01?例4：设X1～?111?，X2～?11? ，而且P{X1X2?0}?1
?????424??22?1）求X1和X2的联合分布；2）问X1和X2是否独立？为什么？
例5： (2008)设随机变量X与Y相互独立且同分布，且X的分布函数为F(x)，则
Z?max{X,Y}的分布函数为（ ）
（A）F(x)，（B）F(x)F(y)，（C）1?[1?F(x)]，（D）[1?F(x)][1?F(y)].
22例6： 设二维随机变量(X,Y)的概率分布为：
Y X 0 1 0 1 0.4 a b 0.1 若随机事件{X?0}与{X?Y?1}相互独立，则a= ，b= .
例7： 现将两封信投入编号为1,2,3的3个邮筒，设X,Y分别表示投入第一号和第二号邮筒的信的数目，试求：1）(X,Y)的联合分布；2）X与Y是否相互独立？3）Y?0时
X的条件分布；4）随机变量函数Z?2X?Y与U?XY的分布；5）随机变量
M?max(X,Y)的与m?min(X,Y)的分布.
例8： 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为
?Ay(1?x),0?x?1,0?y?x ?(x,y)??0,其他? 1）试确定常数A；2）求(X,Y)的联合分布函数；3）求关于X和关于Y的边缘密度函数；4）判断X与Y是否相互独立；5）求Z?X?Y的密度函数.
例9： 设二维随机变量(X,Y)在矩形G?{(x,y)0?x?2,0?y?1}上服从均匀分布，记
?0,若X?Y?0,若X?2Y V?? U???1,若X?Y?1,若X?2Y1） 求U与V的联合分布律； 2） 问U与V是否相互独立？ 3） 求U与V的相关系数.
例10：（2005）设（X,Y）~f(x,y)???1,0?x?1,0?y?2x求：(1) （X,Y）
其它?0,11|X?}, 22的边缘密度函数fX(x),fY(y)；（2）Z?2X?Y的概率密度；（3）P{Y?
例11：（2006）设随机变量X的概率密度为：
?1?2,?1?x?0??1fX(x)??,0?x?2
?4?0,其它?? 令Y?X2,F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数. 求 （1）Y的概率密度fY(y)； （2）F(?1,4)； （3）cov(X,Y). 21例12：(2008)设随机变量X,Y相互独立，X的概率分布P{X?i}?(i??1,0,1)，
3?1,0?y?1Y的概率密度为fY(y)??，记Z?X?Y. 求
?0,其他 （1）P{Z?1|X?0}； （2）Z的概率密度fZ(z). 2例13：设二维随机变量(X,Y)在矩形G?{(x,y)0?x?2,0?y?1}上服从均匀分布，试求边长X和Y的矩形面积S的概率密度f(s).
?1?(ln2?lns),0?s?2（答案：f(s)??2）
其他?0?例14：（2007）设二维随机变量(X,Y的概率密度为
?2?x?y,0?x?1,0?y?1 f(x,y)??0其他?1） 2）
求P{X?2Y}；
Z?X?Y的概率密度fZ(z).
?z(2?z),0?z?17?2（答案：1）；2）fZ(z)??(2?z),1?z?2）
24?0其他?例15：（2009）设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0,1)，Y的概率分布为P{Y?0}?P{Y?1}?1. 记FZ(z)为随机变量Z?XY的分布函数，则函数2