发布时间 : 星期三 文章2020版高考理科数学突破二轮复习新课标 教师用书:第3讲 练典型习题 提数学素养(3)更新完毕开始阅读
[A组 夯基保分专练]
1.(2019·重庆市七校联合考试)如图,三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2,AA1⊥平面ABC,D,E分别是AC,CC1的中点.
(1)求证:AE⊥平面A1BD; (2)求二面角D-BE-B1的余弦值.
解:(1)证明:因为AB=BC=CA,D是AC的中点, 所以BD⊥AC,
因为AA1⊥平面ABC,所以平面AA1C1C⊥平面ABC, 所以BD⊥平面AA1C1C,所以BD⊥AE.
又在正方形AA1C1C中,D,E分别是AC,CC1的中点, 所以A1D⊥AE.又A1D∩BD=D, 所以AE⊥平面A1BD.
(2)以DA所在直线为x轴,过D作AC的垂线,以该垂线为y轴,DB所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),E(-1,-1,0),B(0,0,3),B1(0,→→→→
-2,3),DB=(0,0,3),DE=(-1,-1,0),BB1=(0,-2,0),EB1=(1,-1,3),
设平面DBE的法向量为m=(x,y,z), →??m=0?DB·?3z=0
则?,即?,
→?-x-y=0??m=0?DE·令x=1,则m=(1,-1,0),
→???BB1·n=0?-2b=0
设平面BB1E的法向量为n=(a,b,c),则?,即?,
→???a-b+3c=0?EB1·n=0令c=3,则n=(-3,0,3),
设二面角D-BE-B1的平面角为θ,观察可知θ为钝角, m·n-6
因为cos〈m,n〉==,
|m||n|4
-6-6
所以cos θ=,故二面角D-BE-B1的余弦值为.
44
2.(2019·成都第一次诊断性检测)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱π
形,∠ABC=,PA⊥平面ABCD,点M是棱PC的中点.
3
(1)证明:PA∥平面BMD;
(2)当PA=3时,求直线AM与平面PBC所成角的正弦值. 解:(1)证明:如图1,连接AC交BD于点O,连接MO.
因为M,O分别为PC,AC的中点, 所以PA∥MO.
因为PA?平面BMD,MO?平面BMD, 所以PA∥平面BMD.
(2)如图2,取线段BC的中点H,连接AH.
π
因为四边形ABCD为菱形,∠ABC=,
3所以AH⊥AD.
以A为坐标原点,分别以AH,AD,AP所在的直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系A-xyz,
则A(0,0,0),B(3,-1,0),C(3,1,0),P(0,0,3),M(=(
313→→
,,),BC=(0,2,0),PC=(3,1,-3). 222
→?BC=0,??m·?2y=0
设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),由?得?,
→???3x+y-3z=0PC=0?m·取z=1,m=(1,0,1).
设直线AM与平面PBC所成角为θ,
313
|×1+×0+×1|→222|m·AM|42→
则sin θ=|cos〈m,AM〉|===. 7→7|m|·|AM|×2
4所以直线AM与平面PBC所成角的正弦值为
42. 7
313→,,),所以AM222
3. (2019·高考天津卷)如图,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥AB,AB=AD=1,AE=BC=2.
(1)求证:BF∥平面ADE;
(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值;
1
(3)若二面角E-BD-F的余弦值为,求线段CF的长.
3
→→→
解:依题意,可以建立以A为原点,分别以AB,AD,AE的方向为x轴,y轴,z轴正方向的空间直角坐标系(如图),可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2).设CF=h(h>0),则F(1,2,h).
→→→→
(1)证明:依题意,AB=(1,0,0)是平面ADE的法向量,又BF=(0,2,h),可得BF·AB=0,又因为直线BF?平面ADE,所以BF∥平面ADE.
→→→
(2)依题意,BD=(-1,1,0),BE=(-1,0,2),CE=(-1,-2,2).
→??n·BD=0,??-x+y=0,
设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量,则?即?不妨令z=1,可
→?-x+2z=0,?BE=0,??n·→CE·n4→
得n=(2,2,1).因此有cos〈CE,n〉==-. 9→
|CE||n|
4
所以,直线CE与平面BDE所成角的正弦值为. 9
→?BD=0,??m·?-x+y=0,
(3)设m=(x,y,z)为平面BDF的法向量,则?即?不妨令y=1,
→?2y+hz=0,?BF=0,??m·2
可得m=(1,1,-).
h
|m·n|
=|m||n|
3由题意,有|cos〈m,n〉|=
?4-2??h?
18
=,解得h=,经检验,符合题意.
743
2+2h
8
所以,线段CF的长为. 7
4.(2019·东北四市联合体模拟(一))如图,等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AD=AB=BC=1,CD=2,E为CD的中点,将△ADE沿AE折到△APE的位置.
(1)证明:AE⊥PB;