发布时间 : 星期三 文章八年级数学变量与函数、平面直角坐标系、函数的图象华东师大版 (1)知识精讲更新完毕开始阅读
初二数学第二章 分解因式 第1、2节北师大版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
第二章：分解因式 第一节：分解因式 第二节：提公因式法
二. 教学要求： 1、从分解因数到分解因式的类比过程中了解分解因式的意义，以及它与整式乘法的联系，掌握分解因式的概念，感受分解因式在解决相关问题中的作用。
2、能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法把多项式分解因式（多项式中的字母指数仅限于正整数的情况）。
三. 重点及难点：
重点：
1、了解分解因式的意义，感受其作用。 2、掌握用提公因式法把多项式分解因式。 难点：
1、整式乘法与分解因式之间的关系。 2、正确地确定多项式的最大公因式。
四. 课堂教学 ［知识要点］
知识点1 分解因式的概念 分解因式的定义：把一个多项式化成n个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式分解因式。
说明：
（1）分解因式的结果要以积的形式表示。
（2）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来的多项式的次数。 （3）必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
知识点2 分解因式与整式乘法的关系
分解因式是整式乘法的逆运用，与整式乘法运算有密切的联系。
如x(x?1)?x?x是整式乘法，而x?x?(xx?1)就是分解因式，但
22x2?x?1?x(x?1)?1就不是分解因式，因为结果x(x?1)?1不是积的形式。所以结果的
形式是判断分解因式与整式乘法的一个重要依据。
知识点3 公因式定义
多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。如ab+ac中a就是各项的公因式，2ab?abc中各项的公因式就是ab。
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知识点4 提公因式法
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提取出来，从而把多项式化成两个因式相乘的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
说明：（1）提公因式法分解因式应提取多项式各项的最大公因式，如，a2,2b2,2ab都是多项式2ab?6ab的公因式，但都不是最大公因式，他的最大公因式是2ab。 （2）最大公因式概念：多项式各项整系数的最大公约数和各项都含有的字母的最低次数幂的积，叫做这个多项式各项的最大公因式。
知识点5 提公因式分解因式与单项式乘以多项式的关系
提公因式分解因式，如ma?mb?mc?m(a?b?c) 单项式乘以多项式，如m(a?b?c)?ma?mb?mc 所以，二者运算是一种互逆关系。
322222【典型例题】
例1、下列由左到右的变形，是分解因式的是（ ） （1）a(x+y)＝ax+ay （2）
（3）ax?9a?a(x?3)(x?3) （4）x?y?1?(x?y)(x?y)?1
（5）x?2x?2y?y?(x?y)?2(x?y)
A、（2）（3） B（3）（5） C（3） D（3）（4） 答案：C
例2、（1）说明81?27?9必定是45的倍数。
（2）对于任意自然数n， (n+8)?n必是16的倍数。
（3）当n是整数时，两个连续奇数的平方差是8的倍数。 分析：（1）题分解因数，使积的形式中含有45的因数。（2），（3）题分解因式后，根据整除性加以解决。
解：（1）81?27?9 ＝(3)?(3)?(3)
473921379137913
222222222
＝3?3?3 ＝326(9?3?1) ＝3?5 ＝3?9?5
所以81?27?9必定是45的倍数。 （2）(n+8)2?n2＝（n+8+n）（n+8－n） ＝2（n+4）×8 ＝16（n+4）
因为n为自然数，所以n+4也为自然数，所以(n+8)2?n2必是16的倍数。 （3）设两个连续的奇数为2n+1，2n－1，（n为整数） 因为(2n?1)2?(2n?1)2
＝[（2n+1）+（2n－1）][（2n+1）－（2n－1）] ＝4n×2 ＝8n
所以两个连续奇数的平方差是8的倍数。
例3、把下列各式分解因式 （1）8xy?6xy?12xy （2）?4ab?6ab?2ab （3）2x(x?y)?(x?y) （4）a(a?b)?b(b?a)
分析：（1）题提公因式法分解因式，且应提取的最大公因式是2xy。（2）题的首项系数为负数，应先提取“－”号，在继续分解因式。（3）题应把多项式（x＋y）看作整体因式，提取因式（x+y）后最后一项不要漏掉“－1”。（4）题中的（a－b）与（b－a）互为相反数，先变形化为公因式即b－a＝－（a－b），然后类似于（3）题再提取公因式。
解：（1）8xy?6xy?12xy
2224423227913242628272622244?2xy2?4?2xy2?3x?2xy2?6x3y2?2xy(4?3x?6xy)（2）?4ab?6ab?2ab
322232
??(4a3b2?6a2b?2ab)??2ab(2ab?3a?1)2
（3）2x(x?y)?(x?y) ＝（x+y）（2x－1） （4）a(a?b)?b(b?a) ＝a（a－b）－b（a－b） ＝（a－b）（a－b） ＝(a?b)2
说明：（1）提取公因式应提取最大公因式。
（2）多项式的首项系数为负，应先提取“－”号，化首项系数为正。
（3）提取的公因式是多项式中相同的项或互为相反数的项，应注意不要漏成“＋1”或“－1”。
（4）分解因式结果中出现相同因式，应写成幂的形式，如（4）中（a－b）（a－b）应写成(a?b)2的形式。
（5）多项式因式的常见转化，如a－b＝－（b－a）或b－a＝－（a－b），
(a?b)2?(b?a)2，则当n为奇数时，(a?b)n??(b?a)n，当n为偶数时，(a?b)n?(b?a)n。
分析：把上式利用因式分解法转化为关于（2x＋y）与（x－3y）的因式，然后整体带入求解。
解：7y(x?3y)?2(3y?x)
23?7y(x?3y)2?2(x?3y)3 ?(x?3y)[7y?2(x?3y)]
2?(x?3y)2(2x?y)
所以原式＝6
例5、已知a，b，c，d为非负整数，且ac+bd+ad+bc＝1997，则a+b+c+d＝__________。 解：原式化简为（ac+ad）+（bc+bd）＝1997 a（c+d）+b（c+d）＝1997