发布时间 : 星期四 文章古希腊数学中的公理化思想及其历史发展更新完毕开始阅读
5 公理化方法的影响与局限
公理化方法中所体现的演绎证明为人类提供了严格思维的模式。从几条不言自明的公理出发，通过逻辑的链条，推导出成百上千条定理。这种演绎论证的思维模式影响所及已远远超出了几何学甚至数学领域，对人类社会的进步和发展有不可估量的作用。领导法国大革命和美国独立战争的思想家、政治家们都接受了欧几里得数学思维的影响(《人权宣言》,《独立宣言》)。另外，有记载说美国南北战争时期的总统林肯“相信思维能力像肌肉一样也可以通过严格的锻炼而得到加强”，为此他想方设法搞到了一本欧几里得的《原本》，并下决心亲自证明其中的一些定理，1860 年他自豪地报告说他已基本掌握了《原本》的前六卷。
希尔伯特所发展的现代公理化方法在20世纪已远远超出了几何学的范围而成为现代数学甚至其他科学领域中普遍应用的科学方法。在数学科学领域，它孕育了抽象代数、实变函数论与泛函分析、拓扑学、公理化概率论等20世纪的纯粹数学核心领域。在物理学领域，它影响了量子力学和相对论的产生与发展。在经济学中，也引进了公理化，例如一般经济均衡理论的公理化基础。
公理化方法属于演绎思维的范畴。演绎思维是重要的思维方式，但当然不是惟一的方式,它为人类提供了严格推理的模式，但也存在局限性。笛卡儿就曾在他的一部生前未正式发表的著作《探求真理的指导原则》中深刻地批判了传统的、主要是希腊的研究方法，他认为古希腊人的演绎推理只能用来证明已经知道的事物，“却不能帮助我们发现未知的事情”。笛卡儿因此提出“需要一种发现真理的方法”，也就是一种“普遍的科学”，笛卡儿称之为“通用数学”。“通用数学”的追求导致了笛卡儿解析几何的发明。从方法论角度看，解析几何显然不是演绎思维和公理化方法的产物。因此，演绎思维和公理化方法需要与其他科学思维方法相辅相成，相得益彰，科学的进步和发展是不同思维方法的交响乐。
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6 集合论悖论及其对公理化方法的影响
实际上，在希尔伯特的公理化方法中，有一个问题一直困扰着希尔伯特，那就是对欧氏几何相容性的证明。在希尔伯特心目当中，这种相容性是任何类型的公理化系统的必要条件，所以他一直试图对其进行证明。在直接证明不得的情况下，借助解析几何，希尔伯特将欧氏几何的相容性问题转化成了算术的相容性问题；1900年巴黎数学家大会上，在他所提出的著名的23个问题中，第二个问题就是算术公理的相容性。之后不久，这个问题由于罗素悖论的出现变得更加尖锐。
1900年前后集合论中出现了3个著名的悖论:布拉利-福尔蒂悖论(1897)、康托尔悖论(1899) 和罗素悖论(1903)。布拉利-福尔蒂悖论是一个关于序数的悖论；康托尔悖论是关于基数的悖论；
罗素悖论是关于日常语言和逻辑的悖论。由于布拉利- 福尔蒂悖论、康托悖论都涉及非常专门的术语和概念，人们认为这些悖论只是因为某些推理环节上的失误所造成的，所以在当时并没有引起重视；而罗素悖论则清楚明了地指出了集合论本身存在着矛盾，从此这些悖论开始受到人们的关注。1919年，罗素又给出上述悖论一个通俗形式，使得这个悖论为更多的人所了解。这就是著名的理发师悖论: 某乡村理发师宣布了一条原则，他只给本村那些不给自己理发的人理发。问谁给理发师理发？如果理发师给自己理发，那么他是自己给自己理发的人，据村中的理发师只给本村那些不给自己理发的人理发，他不应给自己理发；如果理发师不给自己理发，那么他是不给自己理发的人，据村中的理发师只给本村那些不给自己理发的人理发，他应该给自己理发。这是矛盾的。
为了消除集合论中存在的悖论，数学家们对集合论进行了公理化。第一个集合论公理系统是1908年由策梅洛提出的，这个公理系统后来由弗兰克尔进行了改进，现在称为策梅洛- 弗兰克尔公理系统。
通过建立集合论的公理化，集合论所存在的悖论被化解了，没有发现新的悖论；但是以后会不会再出现新的悖论，不得而知，所以集合论公理化体系的相容性问题还是没有得到解决。对此庞伽莱说:“为了防备狼，羊群已用篱笆圈了起来，但却不知道圈里有没有狼”。
随后，在解决集合论悖论的进一步尝试过程中，形成了关于数学基础的三大学派:以罗素为代表的逻辑主义，以布劳威尔为代表的直觉主义和以希尔伯特为代表的形式主义。希尔伯特的形式主义纲领是他早年关于几何公理化方法的发展与深化。希尔伯特感觉到之所以会产生类似于罗素悖论中所存在的悖论性因素，主要是由于其陈述中的“语义”内容所导致的。他相信铲除在数学中出现这种悖论可能性的一个方式，就是为全部数学构建一种纯句法的、实质上“无意义”的框架，在其中可以谈论数学的真或假，这样的框架就是形式化了的公理系统。希尔伯特纲领所要做的就是把整个数学事实全部形式化，以防止悖论跨越自然语言与数学语言的界限而侵入纯洁的数学世界。希尔伯特形式系统由语言、公理、推理规则三个部分组成。在希尔伯特的形式主义纲领中, 相容性问题仍然是希尔伯特首要解决的任务，对此希尔伯特提出了一种证明的设想“元数学”， 元数学第一次使一门数学理论整体的作为一个确定的、可用数学方法来研究的研究对象。
在1928年意大利博洛尼亚国际数学家大会上，希尔伯特自信地说:“利用这种新的数学基础——人们完全可以称之为证明理论，我将可以解决世界上所有的基础问题。”所有有意义的论述都将被证明或证伪，那样就不存在悬而未决的命题了。希尔伯特对算术形式化满怀坚定的希望，同时激励国际数学家去发现或创造这样的形式化。正当人们感到希望的时候，哥德尔证明了一条定理(1931)，明白无误地指出了希尔伯特关于算术公理相容性的“元数学”纲领不可能实现。
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7 哥德尔不完全性定理及其对公理化方法的影响
1931年哥德尔在其“论《数学原理》及其有关系统中的形式不可判定命题”的论文中证明了一条定理:任一足以包含自然数算术的形式系统，如果是相容的，则它一定存在有一个不可判定命题，即存在某一命题A 使A 与A 的否定在该系统中皆不可证。系统中存在不可判定的命题也叫该系统的“不完全性”，所以哥德尔的这个定理通常被称为“哥德尔第一不完全性定理”，这个定理表明:任何形式系统都不能完全刻画数学理论，总有某些问题从形式系统的公理出发不能解答。情况甚至更糟，在第一不完全性定理的基础上，哥德尔进一步证明了:在真的但不能由公理来证明的命题中，包括了这些公理是相容的(无矛盾)这一论断本身。也就是说，一个足以包含自然数算术的公理系统是相容的，那么这种相容性在该系统内是不可证明的。这就是所谓的“哥德尔第二不完全性定理”，第一不完全性定理与第二不完全性定理合称为“哥德尔不完全性定理”。哥德尔不完全性定理揭示了形式化方法不可避免的局限性，指出了形式系统的相容性在本系统内不能证明，使希尔伯特证明形式系统相容性的“元数学”方案受到了沉重的打击。
哥德尔不完全性定理是属于某种否定性结果，然而它却带来了数学基础研究的划时代变革。一方面，哥德尔不完全性定理破天荒的第一次分清了数学中“真”与“可证”是两个不同的概念。可证的命题是真的；但真的命题却不一定可证。对于形式系统，“可证”是可以机械地实现的；而“真”需要进一步的思想能动性及超穷工具，即没有任何一类数学可以足够彻底地、完全地表达日常的真概念，这一切突破了人们对数学真理的传统理解，将对数学真理的认识推向了崭新的层次。另一方面，虽然哥德尔不完全性定理指出了形式化数学的局限性，但这并不意味着公理化方法的消亡。相反它极大地促进了希尔伯特“元数学”的发展。由于指出了有限方法的不可能,人们在放宽工具限制的情况下，创造了“超限归纳法”等一些新方法，解决了一批证明论问题。
对于自己的结果，哥德尔认为它的重要性在于在很多情况下，它能够判断或猜测希尔伯特方案的某个特殊部分，能否在给定的元数学假设下进行；但对于形式化方法能否对古典数学的相容性进行构造性说明，以及如果可能的话又可以解决到什么程度这样的问题并没有解决。哥德尔之后不久，布尔巴基学派提出了一般的数学结构的观点，即用结构的观点来综合、概括现代数学的各个分支。他们认为数学就是“结构的仓库”，并将代数结构、“拓扑结构”和“序结构”合称为“母结构”，以这三类结构为基础，通过它们的交叉、结合而产生出各种层次的新结构。结构的观点可以说使公理化方法更上一层楼，它导致了对数学中更一般的抽象结构的研究。不过，布尔巴基学派的结构观点也有其局限性，因为它只是一种方法，它仍然无法克服公理化方法本身所存在的局限性。
参考文献
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[3] Beltrami, Eugenio. Operematematiche[J].Ulrico Hoe-pli,1902,(1): 262-280,374-405. [4] Klein, Felix. Gesammelte mathematische A bhandlung-en [J].Julius Springer,
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[5] [法]笛卡尔.探求真理的指导原则[M].管振湖,译.北京:商务印书馆,1991.
[6] Morris Kline. Mathematics: The Lose of Certainty[M]. Oxford University Press, 1980;
中译本:数学:确定性的丧失[M ].李宏魁,译.长沙:湖南科学技术出版社,1997.254.