发布时间 : 星期三 文章2016届高考数学一轮复习教学案（基础知识+高频考点+解题训练）平面向量的基本定理及坐标表示（含解析）更新完毕开始阅读
(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c. ①求3a＋b－3c；
②求满足a＝mb＋nc的实数m，n. [自主解答] (1)∵a＝(∴a＋2b＝(
3，1)，b＝(0，－2)，
3(－1，3)．
3，－3)＝－(2)由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． ①3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24) ＝(6，－42)．
②∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
???－6m＋n＝5，?m＝－1，∴?解得? ?－3m＋8n＝－5，???n＝－1.
[答案] (1)D
本例中第(2)题增加条件CM＝3c，ON＝2b，求M，N的坐标及向量MN的坐标． 解：∵CM＝OM－OC＝3c，
∴OM＝3c＋OC＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M(0,20)．又∵CN＝ON－OC＝－2b， ∴ON＝－2b＋OC＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N(9,2)．∴MN＝(9，－18)．
由题悟法
1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算．
2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用．
[注意] 向量的坐标与点的坐标不同：向量平移后，其起点和终点的坐标都发生变化，但向量的坐标不变．
以题试法
2．(2012·淮安模拟)已知向量a＝(6,4)，b＝(0,2)，OC＝a＋λb，O为坐标原点，若
?π?
点C在函数y＝sin?x?的图象上，则实数λ的值为________．
?12?
解析：由题意得OC＝(6,4)＋λ(0,2)＝(6,4＋2λ)， 故点C的坐标为(6,4＋2λ)，
6π3
根据条件得4＋2λ＝sin＝1，解得λ＝－.
1223
答案：－ 2
典题导入
[例3] (2011·广东高考)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝( )
11A. B. 42C．1
D．2
平面向量共线的坐标表示 1[自主解答] 可得a＋λb＝(1＋λ，2)，由(a＋λb)∥c得(1＋λ)×4－3×2＝0，所以λ＝. 2[答案] B
在本例条件下，问是否存在非零常数λ，使a＋λb和a－λc平行？若平行， 是同向还是反向？
解：∵a＋λb＝(1＋λ，2)，a－λc＝(1－3λ，2－4λ)，
若(a＋λb)∥(a－λc)，∴(1＋λ)(2－4λ)－2(1－3λ)＝0. ∴λ＝1.∴a＋λb＝(2,2)与a－λc＝(－2，－2)反向． 即存在λ＝1使a＋λb与a－λc平行且反向．
由题悟法
a∥b的充要条件有两种表达方式
(1)a∥b(b≠0)?a＝λb(λ∈R)；
(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x1y2－x2y1＝0.
两种充要条件的表达形式不同．第(1)种是用线性关系的形式表示的，而且有前提条件
b≠0，而第(2)种无b≠0限制．
以题试法
3．(1)(2012·北京东城区综合练习)已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝( )
mnA．－2 1C．－
2
B．2 1D. 2
解析：选C 由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)，因为ma＋nb与a－2b共线，所以(2m－n)×(－1)－(3m＋2n)×4＝0，整理得
m1＝－. n2
(2)(2012·嘉兴模拟)已知a，b是不共线的向量，AB＝λa＋b，AC＝a＋μb，λ，μ
∈R，那么A，B，C三点共线的充要条件为( )
A．λ＋μ＝2 C．λμ＝－1
B．λ－μ＝1 D．λμ＝1
解析：选D ∵A，B，C三点共线，∴存在实数t，满足AB＝tAC，即λa＋b＝ta＋
μtb，又a，b是不共线的向量，
??λ＝t，∴?即λμ＝1. ?1＝μt，?
1．在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的中点，若PA＝(4,3)，
PQ＝(1,5)，则BC等于( )
A．(－2,7) B．(－6,21) C．(2，－7)
D．(6，－21)
解析：选B BC＝3PC＝3(2PQ－PA)＝6PQ－3PA＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．
2．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝( ) A．(－2，－4) C．(－4，－8)
B．(－3，－6) D．(－5，－10)
解析：选C 由a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)?m＝－4，从而b＝(－2，－4)，那么2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．
3.(2013·昆明模拟)如图所示，向量OA＝a，OB＝b，OC＝c，A，
B，C在一条直线上，且AC＝－3CB，则( )
13A．c＝－a＋b
2231
B．c＝a－b
22C．c＝－a＋2b D．c＝a＋2b