发布时间 : 星期四 文章2020版高考数学大一轮复习 第十一章 第3节 二项式定理学案 理 新人教B版更新完毕开始阅读
第3节 二项式定理
最新考纲 1.能用计数原理证明二项式定理；2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
知 识 梳 理
1.二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)＝Cna＋Cna(2)通项公式：Tr＋1＝Cnarn－rrn0n1n－1
n－rrnb＋…＋Crb＋…＋Cnnanb(n∈N+)；
b，它表示第r＋1项；
0
1
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数Cn，Cn，…，Cn. 2.二项式系数的性质
性质 对称性 性质描述 与首末等距离的两个二项式系数相等，即Cn＝Cn 当k＜增减性 二项式系数C knkn－knn＋122(n∈N+)时，是递增的 (n∈N+)时，是递减的 n2n当k＞二项式 系数最 大值 3.各二项式系数和
n＋1当n为偶数时，中间的一项C取得最大值 当n为奇数时，中间的两项Cn?12n与Cn?12n取最大值 (1)(a＋b)展开式的各二项式系数和：Cn＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝2.
(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即Cn＋Cn＋Cn＋…＝Cn＋Cn＋Cn＋…＝2
n－1
0
2
4
1
3
5
n012nn.
[常用结论与微点提醒]
1.二项展开式共有n＋1项；各项的次数都等于二项式的幂指数n，等于a与b的指数的和
n.
2.通项Tk＋1＝Cnakn－kkb是(a＋b)n的展开式的第k＋1项，而不是第k项，这里k＝0，1，…，
n.
3.区别(a＋b)的展开式中“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细.项的系数与a，
nb有关，可正可负，第k＋1项的二项式系数是Ckn，只与n和k有关，恒为正.
1
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)Cnakn－kkb是二项展开式的第k项.( )
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.( ) (3)(a＋b)的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.( )
(4)(a＋b)某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.( )
解析 二项式展开式中Cna故(1)(2)均不正确.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.(x－y)的二项展开式中，第m项的系数是( ) A.Cn C.Cn
nm－1mnkn－kknnb是第k＋1项，二项式系数最大的项为中间一项或中间两项，
B.Cn D.(－1)
m－1
m－1m－1
nm＋1
C
解析 (x－y)展开式中第m项的系数为Cn(－1)答案 D
m－1
.
C2 017＋C2 017＋C2 017＋…＋C2 017
3.(教材习题改编)0242 016的值为( )
C2 016＋C2 016＋C2 016＋…＋C2 016A.2 C.2 017
2 017
0122 017
B.4
D.2 016×2 017
22
解析 原式＝2 016－1＝2＝4.
2答案 B
?1?4.已知?x－?的展开式的第4项等于5，则x等于( ) ?x?
1A. 7
347
7
1B.－
73
C.7 D.－7
1?1?解析 由T4＝Cx?－?＝5，得x＝－. 7?x?答案 B
5.(2018·石家庄调研)(1＋x)的二项展开式中，仅第6项的系数最大，则n＝________. 解析 (1＋x)的二项展开式中，项的系数就是项的二项式系数，所以＋1＝6，n＝10.
2
nnn 2
答案 10
考点一 展开式中的特定项或项的系数(多维探究) 命题角度1 求二项展开式中的特定项
?21?【例1－1】 (1)(2016·广东卷)?x－?的展开式中，常数项是( )
2x??
5
A.－
4
5B. 4
15 C.－ 16
15 D. 16
6
?31?10??的展开式中所有的有理项为________. (2)x－?3?
2x??
?1??1?r12－3r，?1?解析 (1)Tr＋1＝C6(x)?－?＝?－?C6x令12－3r＝0，解得r＝4，∴常数项为?－?
?2x??2??2?
r26－rrr4
154
C6＝. 16
?1?(2)二项展开式的通项公式为Tk＋1＝C10?－?x?2?
kk10－2k3
.
10－2k由题意∈Z，且0≤k≤10，k∈N.
3
10－2k3令＝r(r∈Z)，则10－2k＝3r，k＝5－r，
32∵k∈N，∴r应为偶数.
∴r可取2，0，－2，即k可取2，5，8，
452
∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为x，
46345－2－，x. 8256
4526345－2
答案 (1)D (2)x，－，x
48256
命题角度2 求二项展开式中特定项的系数
?1?62
【例1－2】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)?1＋2?(1＋x)的展开式中x的系数为( )
x?
?
A.15
B.20
C.30
D.35
3
1??(2)(2018·赣州十四县联考)若?x＋?的展开式中前三项的系数分别为A，B，C，且满足?3x?4A＝9(C－B)，则展开式中x的系数为________.
2
n?1?6rr62
解析 (1)因为(1＋x)的通项为C6x，所以?1＋2?(1＋x)展开式中含x的项为
x?
?
16×52244242
1·C6x和2·C6x，因为C6＋C6＝2C6＝2×＝30，
x2×1
?1?62
所以?1＋2?(1＋x)展开式中x的系数为30.
?
x?
Cnn（n－1）?n－n－n?，即n2－7n－8＝0，解得
(2)易得A＝1，B＝，C＝＝，所以有4＝9??3918?183?
n22
1?C8?8－r?1?n＝8或n＝－1(舍).在?x＋?中，因为通项Tr＋1＝Cr＝r· 8x???3x??3x?3
8rrx8－2r，令8－2r＝2，得r＝3，所以展开式中x2的系数为.
56
答案 (1)C (2) 27
命题角度3 多项式的展开问题
【例1－3】 (一题多解)(2015·全国Ⅰ卷)(x＋x＋y)的展开式中，xy的系数为( ) A.10
2
2
5
52
5627
B.20
5
2
C.30
5
D.60
解析 法一 (x＋x＋y)＝[(x＋x)＋y]， 含y的项为T3＝C5(x＋x)·y.
其中(x＋x)中含x的项为C3x·x＝C3x. 所以xy的系数为C5C3＝30.
法二 (x＋x＋y)表示5个x＋x＋y之积.
∴xy可从其中5个因式中选两个因式取y，两个取x，一个取x.因此xy的系数为C5C3C1＝30. 答案 C
规律方法 (1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和
52
2
52
221
2
5
2
52
21
2
3
5
14
15
2
2
2
3
2
r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；
第二步是根据所求的指数，再求所求的项.
(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.
4