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专题8 二次函数的图像与性质
一、内容概述
二次函数有丰富的内容，下面从四个方面加以总结 1．定义：
形如函数y?ax2?bx?c(a?0)称为二次函数，对实际问题二次函数也有定义域.
2．图像
二次函数的图像为抛物线，一般作二次函数图像，取五个点，先确定顶点的横坐标，再以它为中心向左、向右对称取点. 3．性质 对y?ax2?bx?c(a?0)的图像来讲，
（1）开口方向：当a?0时，抛物线开口向上；当a?0时，抛物线开口向下。
b 2a?b4ac?b2?,（3）顶点坐标：??? 2a4a??（2）对称轴方程：x??（4）抛物线与坐标轴的交点情况：
若b?4ac?0，则抛物线与x轴没有交点；若b?4ac?0，则抛物线与x轴有一个交点；
22?b?b?4ac?b?b?4ac若b?4ac?0，则抛物线与x轴有两个交点，分别为(,0)，(,0)；
2a2a另外，抛物线与y轴的交点为?0,c?.
222（5）抛物线在x轴上截出的距离为：（6）y与x的增减关系：
?b???b????? 2a2aabb时，y随x的增大而增大，x??时，y随x的增大而减小； 2a2abb当a?0，x??时，y随x的增大而减小，x??时，y随x的增大而增大.
2a2a当a?0，x??（7）最值：
b4ac?b2当a?0时，y有最小值，当x??时，y最小值＝；
2a4ab4ac?b2当a?0时，y有最大值，当x??时，y最大值＝
2a4a（8）若抛物线与x轴两交点的横坐标为x1、x2（x1?x2），则： 当a?0时，x1?x?x2时，y?0；x?x1或x?x2时，y?0；
当a?0时，x1?x?x2时，y?0；x?x1或x?x2时，y?0. 4．求解析式
抛物线的解析式常用的有三种形式： （1）一般式：y?ax?bx?c(a?0)
（2）顶点式：y?a(x?h)?k(a?0)，其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。
（3）交点式：y?a(x?x1)(x?x2)(a?0)，交点式只在抛物线与x轴有交点时才用到，式中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标。
解题时，视情况和需要，一般选用这三种形式中的一种或两种就可以了。
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二、例题解析
例1 设抛物线为y?x2?kx?k?1，根据下列各条件，求k的值。 （1）抛物线的顶点在x轴上； （2）抛物线的顶点在y轴上； （3）抛物线的顶点??1,?2?； （4）抛物线经过原点；
（5）当x?1时，y有最小值； （6）y的最小值为?1.
解：（1）k?2；（2）k?0；（3）k??1；（4）k?1；（5）k??2；（6）k?0或k?4
例2 设直线y?kx?b与抛物线y?ax2的两个交点的横坐标分别为x1和x2，且直线与x轴交点的横坐标为x3，求证：
111??. x1x2x322解：由题意得x1和x2为方程kx?b?ax的两个根，即ax?kx?b?0，
kb，x1x2?? aa11x1?x2k∴???? x1x2x1x2b∴x1?x2?∵直线与x轴交点的横坐标为：x3??∴
k1b∴?? bx3k111?? x1x2x312时，有最大值25，而方程ax?bx?c?0的两根?、?，2例3 二次函数y?ax2?bx?c，当x?满足????19，求a、b、c。
33解：设二次函数y?a(x?h)?k(a?0)，
21?1?时，有最大值25，即：顶点为?,25? 2?2?1212∴y?a(x?)?25?ax?ax?a?25
241233由已知得：ax?ax?a?25?0的两根为?、?，满足????19
42∴(???)?(???)?3????19
根据两根之和与两根之积的关系解得a??4
2∴y??4x?4x?24，即a??4，b?4，c?24.
112例4 证明：无论a取任何实数值时，抛物线y?x?(a?1)x?a?是通过一个定点，而且这些抛
24∵当x?物线的顶点都在一条确定的抛物线上。 证明：y?x?(a?1)x?当x??2111111a??x2?x??a(x?)?(x?)2?a(x?) 24422211时，a(x?)?0,y?0 22即无论a取任何实数时，已知抛物线总通过点M???1?,0? ?2?新世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@新世纪教育网
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11?a?1?12又y?x?(a?1)x?a???x???a
24?2?4?a?112?故抛物线的顶点坐标为??,?a?
4??2a?1?x???12?2即?，消去a得，y??(x?)
2?y??1a2??422这条曲线是一条抛物线，即原抛物线的顶点都在一条确定的抛物线上.
例5 已知抛物线y?ax2?bx?c(a?0)过?0,4?,?2,?2?两点，若抛物线在x轴上截得的线段最短时，求这时的抛物线解析式。
解：∵抛物线过?0,4?,?2,?2?两点，∴代入解析式得b??2a?3,c?4 所以y?ax2?bx?c?ax2?(2a?3)x?4
249?4??2(a?0)
aaa1?4299?，即a?时，抛物线在x轴上截得的线段最短，将a?代入b??2a?3，得∴当??a2?9922b??12
92∴抛物线的解析式是y?x?12x?4
2∴此抛物线在x轴上截得的线段长可表示为
例6 如果二次函数y?ax2?bx?c的图像的顶点坐标是?2,4?，且直线y?x?4依次与y轴和抛物线相交于P、Q、R三点，PQ:QR=1:3，求这个二次函数解析式。 解：∵图像的顶点坐标是?2,4?，所以可设y?a(x?2)2?4 （1）
P点的坐标是?0,4?，设Q、R点的坐标为?x1,y1?和?x2,y2?，则y1?x1?4，y2?x2?4 ∴PQ??2a?3??16a(x1?0)2?(y1?4)2?x12?x12?2x1，PR?(x2?0)2?(y2?4)2?2x2
∵PQ:QR=1:3且P在QR之处，∴PQ:PR=PQ :（PQ+QR）＝1:4 即2x1:2x2=1:4, ∴x2=4x1 （2） 又x1,x2是抛物线与直线交点的横坐标
∴a(x?2)?4?x?4,ax?4(4a?1)x?4a?0
224a?1x?4)?0 a?x1?x2?4（3） ?由韦达定理，得?4a?1
（4） x1?x2??a?由（3）得，x1,x2同号，再由（2），得x2?4x1
1∴x1??1,x2??4，从（4）得a?1或a??
9124322∴y?x?4x?8或y??x?x?
999∴a(x?2
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例7 已知：抛物线y??x2?px?q交x轴于点A、B，交y轴于点C，又∠ACB=90°,tan∠CAO－tan∠CBO＝2.
（1）求抛物线的解析式。
（2）设平行于x轴的直线交抛物线于点M、N，是否存在以MN为直径且与x轴相切的圆？如果不存在，说明理由；如果存在，求出圆的半径。
分析：（1）欲求抛物线的解析式，即求p、q的值，一方面，p、q与方程x2?px?q?0的两根有联系，另一方面q等于线段OC的长，而OC2?OA?OB,且OA、OB又是方程x2?px?q?0的两根的绝对值，这就使p与q能建立联系，从中求出p、q；
（2）本例是存在型问题，如果存在满足题设条件的圆，从图形直观看出；圆心必定在抛物线的对称轴上，且半径是圆心的纵坐标的绝对值。
解 （1）设A、B两点的横坐标分别为x1,x2，则x1,x2是方程x2?px?q?0的两个根，且x1?0?x2，
x1?x2?p，x1x2??q?0
∵在Rt△ABC中，OC为斜边AB上的高， ∴OC2?OA?OB?x1x2?q 又∵OC?q ∴q?q
因为抛物线不经过原点，∴q?0,故q?1 由三角函数的定义和x1?0?x2，易得：
222y C OC1OC1?? tan∠CBO＝?? AOx1BOx2x?x11 由题设，得????12?2，则x1?x2??2x1x2
x1x2x1x2 ∵x1?x2?p,x1x2??q??1 ∴p＝2
tan∠CAO＝
故抛物线得解析式为y??x2?2x?1
2A O B x （2）设点M、N的坐标为?x3,r?,?x4,r?，则x3,x4是方程r??x?2x?1，即?x?2x?r?1?0的
2两个根。
∴x3?x4?2,x3x4?r?1 ∴MN?x3?x4?∴
(x3?x4)2?4x3x4?4?4(r?1)?22?r ∵圆与x轴相切（假设圆存在）
1MN?r，即2?r?r 2解方程得：r或r2??2 1?1∴所求圆的半径为1或2.
说明：本例是代数、三角、几何的综合题，涉及二次函数、方程、三角函数和Rt△等多方面的知识.
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