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2011年高考数学复习专项——高考数列真题汇编 8_one整理
?lnx?x(ln ≥0
所以(x?1)f(x)≥0
11??1) xx9．（2010年高考四川卷理科22）（本小题满分14分）
1?ax设f(x)?（a?0且a?1），g(x)是f(x)的反函数.
1?ax（Ⅰ）设关于x的方程求loga值范围；
t?g(x)在区间[2，6]上有实数解，求t的取
(x2?1)(7?x)2?n?n2（Ⅱ）当a＝e（e为自然对数的底数）时，证明：?g(k)?；
2n(n?1)k?2nn1
（Ⅲ）当0＜a≤时，试比较?f(k)?n?与4的大小，并说明理由.
2k?1?
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10．（2010年高考江苏卷试题20）（本小题满分16分）
设f(x)是定义在区间(1,??)上的函数，其导函数为f'(x)。如果存在实数a和函数
h(x)，其中h(x)对任意的x?(1,??)都有h(x)>0，使得f'(x)?h(x)(x2?ax?1)，则称
函数f(x)具有性质P(a)。 (1)设函数f(x)?lnx?b?2(x?1)，其中b为实数。 x?12011年高考数学复习专项——高考数列真题汇编 8_one整理
(i)求证：函数f(x)具有性质P(b)； (ii)求函数f(x)的单调区间。 (2)已知函数g(x)具有性质P(2)。给定x1,x2?(1,??),x1?x2,设m为实数，
??mx1?(1?m)x2，??(1?m)x1?mx2，且??1,??1，
若|g(?)?g(?)|<|g(x1)?g(x2)|，求m的取值范围。
[解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分。 （1）(i)f'(x)?1b?21??(x2?bx?1) 22x(x?1)x(x?1)1?0恒成立，
x(x?1)2∵x?1时，h(x)?∴函数f(x)具有性质P(b)；
b2b2(ii)（方法一）设?(x)?x?bx?1?(x?)?1?，?(x)与f'(x)的符号相同。
24b2?0,?2?b?2时，?(x)?0，f'(x)?0，故此时f(x)在区间(1,??)上递增； 当1?42当b??2时，对于x?1，有f'(x)?0，所以此时f(x)在区间(1,??)上递增； 当b??2时，?(x)图像开口向上，对称轴x?b??1，而?(0)?1， 2对于x?1，总有?(x)?0，f'(x)?0，故此时f(x)在区间(1,??)上递增； （方法二）当b?2时，对于x?1，?(x)?x2?bx?1?x2?2x?1?(x?1)2?0 所以f'(x)?0，故此时f(x)在区间(1,??)上递增； 当b?2时，?(x)图像开口向上，对称轴x?b?1，方程?(x)?0的两根为：2b?b2?4b?b2?4b?b2?4b?b2?42，而,?1,??(0,1)
22222b?b?4b?b2?4b?b2?4 当x?(1,)时，?(x)?0，f'(x)?0，故此时f(x)在区间(1,)
22b?b2?4上递减；同理得：f(x)在区间[,??)上递增。
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综上所述，当b?2时，f(x)在区间(1,??)上递增；
22 当b?2时，f(x)在(1,b?b?4)上递减；f(x)在[b?b?4,??)上递增。
22(2)（方法一）由题意，得：g'(x)?h(x)(x2?2x?1)?h(x)(x?1)2 又h(x)对任意的x?(1,??)都有h(x)>0，
所以对任意的x?(1,??)都有g?(x)?0，g(x)在(1,??)上递增。 又????x1?x2,????(2m?1)(x1?x2)。 当m?1,m?1时，???，且??x1?(m?1)x1?(1?m)x2,??x2?(1?m)x1?(m?1)x2， 2
综合以上讨论，得：所求m的取值范围是（0，1）。
（方法二）由题设知，g(x)的导函数g'(x)?h(x)(x2?2x?1)，其中函数h(x)?0对于任意的x?(1,??)都成立。所以，当x?1时，g'(x)?h(x)(x?1)?0，从而g(x)在区间
2(1,??)上单调递增。
①当m?(0,1)时，有??mx1?(1?m)x2?mx1?(1?m)x1?x1，
??mx1?(1?m)x2?mx2?(1?m)x2?x2，得??(x1,x2)，同理可得??(x1,x2)，所以