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讨论解的结果。
解：系统的振动方程为：
Md?m2dt2?Rmd?dt?Km??0
进一步可转化为，设??Rm2Mm，
d?dt22?2?d?dt????0
2设：
??e于是方程可化为：
(??2i?t
?2j????0)e2j?t?0
解得：??j(???2??02)
? ??e?(?????0)t22
2方程一般解可写成：
??e?存在初始条件：
??t(Ae????0t2?Be????0t22)
t?0?0，vt?0?v0
代入方程计算得：
A??2?v02??20，B?2?????0t22v02??20
?解的结果为： ??e??t(Ae???0t22?Be。
)
其中A??2?v02??20，B?2?v02??201-19 有一质点振动系统，其固有频率为f1，如果已知外力的频率为f2，试求这时系统的弹性抗与质量抗之比。
解：质点振动系统在外力作用下作强迫振动时弹性抗为 已知 f0?50Hz，f?300Hz 则 (KM)(?M)＝
KM?，质量抗为?MM
1?M?2?KMMM??0?22?4?f04?f2222?(50)22(300)?136
1-20 有一质量为0.4kg的重物悬挂在质量为0.3kg，弹性系数为150N/m的弹簧上，试问：
(1) 这系统的固有频率为多少？
(2) 如果系统中引入5kg/s的力阻，则系统的固有频率变为多少？ (3) 当外力频率为多少时，该系统质点位移振幅为最大？ (4) 相应的速度与加速度共振频率为多少？ 解：(1) 考虑弹簧的质量，f0?12?MmKm?Ms/3?12?1500.4?0.3/3?2.76Hz.
(2) 考虑弹簧本身质量的系统仍可作为质点振动系统，但此时系统的等效质量Mm'为Mm+Ms / 3.
??Rm2M'm?52?0.5?5，f0'?12??0??22?12?1500.4?0.3/3?52?2.64Hz.
(3) 品质因素Qm??0MRm'm?16.58?0.55?1.66，
位移共振频率：fr?f0'1?12Qm2?2.39Hz.
(4) 速度共振频率：fr?f0'?2.64Hz， 加速度共振频率：fr?Qmf0'1?12Qm2?2.92Hz.
1-21 有一质点振动系统被外力所策动，试证明当系统发生速度共振时，系统每周期的损耗能量与总的振动能量之比等于
2?Qm。
解：系统每个周期损耗的能量
E?WFT?12RmvaT2
1 ?
E?21E2RmvaT?Mmva22RmfMm，
发生速度共振时，f?f0。
?
EE?Rmf0Mm?2??0MRm?m2?Qm。
1-22 试证明：（1）质点作强迫振动时，产生最大的平均损耗功率的频率就等于系统的无阻尼固有频率f0；（2）假定f1与f2为在f0两侧，其平均损耗功率比f0下降一半时所对应的两个频率，则有
Qm?f0f2?f1.
证明：（1）平均损耗功率为
WR?1T?T0WRdt??12Rmva2 （Rm为力阻，va为速度振幅）
质点强迫振动时的速度振幅为
va?FaQmz?0Mm??0?ff0z?(z?1)Q2222m,(Fa为外力振幅，?0为固有频率，Mm为质量，Qm为
力学品质因素，频率比z?）
当z=1即f?f0时，发生速度共振，va取最大值，产生最大的平均损耗功率。 （2）WR?? W12Rmva122
2amaxRmax??Rmv＝?1212RmFaQm22?0M122m
12FaQm22 WR=W21Rmax 则 ?Rmv2a＝?(?2Rm?M202m) 即
2va＝
FaQm22?M2202m（1）
把va?FaQmz?0Mmz?(z?1)Qm22222，则z?(z?1)Qm（2） ,带入式（1）
222 由式（2）得?z?(z?1)Qm解得z??1?1?4Qm2Qm1?1?4Qm2Qm1Qm22取z1??1?1?4Qm2Qm2
z?(z?1)Qm解得z?2 取z2?1?1?4Qm2Qm2
则 z2?z1?1Qm即
f2f0f0?f1f0?f2?f1f0?
? Qm?f2?f1
1-23 有一质量为0.4kg的重物悬挂在质量可以忽略，弹性系数为160N/m的弹簧上，设系统的力阻为2N·s/m，作用在重物上的外力为FF?5cos8tN。
（1）试求这一系统的位移振幅、速度与加速度振幅以及平均损耗功率；
（2）假设系统发生速度共振，试问这时外力频率等于多少？如果外力振幅仍为5N，那么这时系统的位移振幅、速度与加速度振幅、平均损耗功率将为多少？
解：（1）由强迫振动方程Mmd?dt22d?dt22?Rmd?dt?Km??FF，得
0.4?2d?dt?160??5cos8t
则位移振幅?a?Fa(Km?wM2m)?wRm222?0.0369m
速度振幅va?w?a?0.296m/s 加速度振幅aa?w2?a?2.364m/s2 平均损耗功率P??12Rmva2??0.0876(w)
)2（2）速度共振时fr?f0'?则位移振幅?a?12?FaKmRm?(Rm2Mm?3.158Hz
(Km?wM2m)?wRm222?0.126m
速度振幅va?w?a?2.495m/s 加速度振幅aa?w2?a?49.6m/s2 平均损耗功率P??12Rmva2??6.225(w)
1-24 试求出图1-4-1所示单振子系统，在t?0，??v?0 初始条件下，强迫振动位移解的表示式，并分别讨论??0与当???0时解的结果。
解：对于强迫振动，解的形式为：
???0e??t??0两种情形下，
cos(?0t??0)??acos(?t??)
'其中?a?Fa?Zm，???0??2。
初始条件：??0，v?0， 代入得：
?0cos?0??acos??0
???0cos?0??0?0sin?0???'asin??0
解得：
?0??a?0'?(cos?)??(sin?)?2??cos?sin???0(cos?)
?0cos??(cos?)??(sin?)?2??cos?sin???(cos?)2222'202'222,22?0???arccos
222,22令G??(cos?)??(sin?)?2??cos?sin???0(cos?)