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对函数一致连续性的讨论
Discussion of the uniform continuity
of the function
函数的一致连续性概念是数学分析中的一个重要概念，但是由于它没有像连续函数、可导函数那样直观的几何意义，所以对一致连续概念只是从字面上掌握了其抽象定义，对其实质则很难透彻理解．本文从一致连续的定义、几何意义两个方面进行了详细阐述，希望能加深对一致连续性概念的理解．
1、对定义的理解
首先给出连续与一致连续的概念
【1】
：
定义1 函数f(x)在区间I上连续是指：\x0?I，\e>0，$d>0，当\x?I：
x-x0 定义2 函数f(x)在区间I上一致连续是指：\e>0，$d>0，当\x1、x2?I： x1-x2 （1）由定义可知，在区间I上一致连续的函数一定是连续的．事实上，由一致连续性定义将x1固定，令x2变化，即知函数f(x)在x1连续，又x1是区间I的任意一点，从而函数f(x)在I连续．但反之则不成立，即在区间I上连续的函数不一定一致连续． （2）比较两个定义可知：函数连续定义中的d不仅与e有关，还与x0有关，即对于不同的x0，d一般是不同的，这表明只要函数在区间内每一点都连续，函数就在该区间连续；而一致连续定义中的d只与e有关，与x0的选取无关，即对于不同的x0，d是相同的，这表明函数在区间上的一致连续性，不仅要求函数在这个区间的每一点都连续，而且要求在每点的连续要具有“一致性”，即对不同的x0，能找到共同的d，使得当x-x0 f(x)-f(x0) 非一致连续． （3）函数一致连续的实质就是，当这个区间的任意两个彼此充分靠近的点上函数值的差的绝对值可以任意小，即\x1、x2?I，当x1-x2 一致连续的否定叙述就是非一致连续，即设函数f(x)在区间I有定义，若$e0>0， 【5】 ． \d>0，$x1,x2?I：x1-x2 一致连续． 总的来说，函数的连续性反映了函数的局部性质，而函数的一致连续性反映了函数在整个区间上的整体性质，两者之间既有区别又有联系。 2、几何意义 我们都知道连续函数的图形是一条连续的曲线，那么一致连续的函数的图形在直观上有什么特点呢？我们通过一致连续的几个定理 【2】 及非一致连续的两个例子 【4】 来说明． 定理1 若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上一致连续． 定理2 若函数f(x)在开区间(a,b)上连续，则f(x)在(a,b)上一致连续的充要条件是limf(x)与limf(x)都存在． +-x?ax?b定理3 若函数f(x)在区间[a,+?)上连续，且有斜渐近线，则f(x)在[a,+?)上一 致连续． 特别地，当渐近线斜率为0是，定理3有如下结论： 定理3′若函数f(x)在区间[a,+?上一致连续． 且limf(x)存在，则f(x)在[a,+?))上连续， x??11，x?(0,1)不一致连续，因为lim=+?．此时， x?0+xx函数存在一条垂直渐近线x=0，即当x?0时，函数图形越来越陡，x接近0时，函数图形已接近垂直于x轴． 111例2 函数y=sin，x?(0,1)不一致连续，因为lim不存在，由的siny=sin+x?0xxx1图形可以发现，虽然y=sin没有垂直渐近线，但在x?0的过程中，函数图形越来越陡， xx接近0时，函数图形接近垂直于x轴． 例1 由定理2知，函数y=（1）由上述定理可知，满足一致连续性条件的函数，当自变量变化很小时，引起函数值的变化也很小，为无穷小量，函数的这种特点表现在图形上就是，区间上一致连续函数的图像是“平缓”地变化的（水平直线是一致连续的“极限”状态）；而由例1、例2可知，非一致连续函数当自变量变化很小时，函数值的变化并不是无穷小量，函数的这种特点表现在图形上就是，非一致连续的函数的图像是“陡峭”的，近似垂直于x轴的（垂直直线是非一致连续的“极限”状态）． （2）当x接近于某x0时，函数图像接近于垂直于x轴，则函数在以x0为端点的小区间内一定非一致连续．从而要证非一致连续时，要寻找的特殊点就该在x0附近取 【6】 ． 3、一致连续的其他判定定理【3】 以下列出一致连续性的一些判定定理，仅给出定理4和定理5的证明，其余定理的证明见相关的参考文献。 定理4 函数f(x)在区间I上一致连续的充要条件是：对I上任意两数列{xn}、{yn}，只要lim(xn-yn)=0，就有lim[f(xn)-f(yn)]=0． nn证明：（必要性）因为f(x)在I上一致连续，所以对\e>0，$d>0，\x,y?I，当x-y 任取I上的两个数列{xn}与{yn}并且满足lim(xn-yn)=0．则对上述d>0， n$N>0，当n>N时，有xn-yn nlim[f(xn)-f(yn)]=0． ,y?I，尽管（充分性）假设f(x)在I上不一致连续，则$e0>0，对\d>0，$xⅱxⅱ-y 特别地，取d=11(n?N)，则xn,yn?I，虽然满足xn-yn<，但是 nnnnf(xn)-f(yn)?e0．显然lim(xn-yn)=0，但是lim[f(xn)-f(yn)]?0，这与已知 条件矛盾，得证． 定理4′ 函数f(x)在有限区间I上一致连续的充要条件是：对I上任意两数列{xn}，只要{xn}是柯西列，则{f(xn)}就是柯西列． 注：对数列{xn}，若对\e>0，$N>0，当n,m>N时，有xn-xm 定理5 若函数f(x)在I上满足Lipschitz条件： f(x1)-f(x2)?Lx1x2，\x1、x2?I， 其中L>0为某一常数，则f(x)在I上一致连续． 注：函数f(x)在I上有有界导函数，则f(x)在I上Lipschitz条件成立． 证明：对\e>0，取d=e>0，对\x1,x2?I，当x1-x2 L所以f(x)在I上一致连续． 定理6 已知c为I1右端点，为I2的做端点，若f(x)在I1和I2上一致连续，则f(x)在 I=I1?I2上也一致连续． 定理7 单调有界函数f(x)在区间I（I=(a,b)或[a,+?一致连续． 定理8 周期函数只要连续必定一致连续，即设f(x)在(-?,?周期为T的周期函数，则f(x)在(-?,?且f(x)是)上连续， )）上连续，则f(x)在I上 )上一致连续． x?ax?b定理9 函数f(x)在开区间(a,b)上有连续的到函数，且limf(x)与limf(x)均存在+-有限，则f(x)在(a,b)上一致连续． 定理10在区间I上一致连续的二函数的和与差仍在I上一致连续． 定理11 在有限开区间上一致连续的两函数之积仍一致连续． 参考文献： [1]刘玉琏等．数学分析讲义（上册）．高等教育出版社，1995． [2]华东师范大学数学系．数学分析（上册）（第三版）．高等教育出版社，2001． [3]裴礼文．数学分析中的典型问题与方法．高等教育出版社，1988． [4]杨艳．关于函数一致连续性的讨论．吕梁学院学报．2011（4）：14-15． [5]林远华．对函数一致连续性的几点讨论．河池师专学报．2003（12）：68． [6]王云花，张智倍．函数一致连续性概念的几点注记．高师理科学刊．2011（7）：43.