发布时间 : 星期日 文章2014年求圆锥曲线方程的方法(有答案)更新完毕开始阅读
高中数学复习专题讲座：关于求圆锥曲线方程的方法
高考要求
求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法 重难点归纳
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置
定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx+ny=1(m＞0,n＞0)
定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小 典型题例示范讲解
例1某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A、A′是的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端点，B、B′是径的两个端点，已知AA′=14 m，CC′=18 m,BB′=22 m,m 建立坐标系并写出该双曲线方程
命题意图 本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力
知识依托 待定系数法求曲线方程；点在曲线上，点的坐标适合方程；积分法求体积 错解分析 建立恰当的坐标系是解决本题的关键 技巧与方法 本题是待定系数法求曲线方程 解 如图，建立直角坐标系xOy,使AA′在x轴上，AA′点为坐标原点O，CC′与BB′平行于x轴
C'2
2
C' 18 m C 20 m 分，绕双曲线下底直
A' 14 m A 22 m B ' B 塔高20
yC的中
xA'oAx2y21设双曲线方程为2?2=1(a＞0,b＞0),则a=AA′
ab2又设B(11,y1),C(9,x2)因为点B、C在双曲线上，所以
=7
B'B有
112y192y2?2?1,2?2?1 72b7b由题意，知y2－y1=20,由以上三式得 y1=－12,y2=8,b=72
22x2y2?故双曲线方程为=1 4998例2过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上离心率为
yA1y=x2o1Bx且段称，
21的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线22AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对
试求直线l与椭圆C的方程
命题意图 本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强
知识依托 待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题 错解分析 不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误 恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键
技巧与方法 本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB斜率的等式 解法二，用韦达定理
c2a2?b2122
?解法一 由e=?,得,从而a=2b,c=b 2a22a设椭圆方程为x+2y=2b,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上
则x1+2y1=2b,x2+2y2=2b,两式相减得，(x1－x2)+2(y1－y2)=0,
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y1?y2x?x2??1.
x1?x22(y1?y2)设AB中点为(x0,y0),则kAB=－
x0x11,又(x0,y0)在直线y=x上，y0=x0,于是－0=－2y02y0221,kAB=－1,设l的方程为y=－x+1
右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′),
?y??1??x??1?x??b 则? 解得????y?1?byx?b?????1?2?2由点(1,1－b)在椭圆上，得1+2(1－b)=2b,b=
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929,a? 168
8x2162?y =1,l的方程为y=－x+1 ∴所求椭圆C的方程为99c2a2?b2122,得?解法二 由e=?,从而a=2b,c=b 2a22a设椭圆C的方程为x+2y=2b,l的方程为y=k(x－1),
2
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4k2将l的方程代入C的方程，得(1+2k)x－4kx+2k－2b=0,则x1+x2=,y1+y2=k(x1－
1?2k22
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1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－
2k
1?2k2?k12k2x1?x2y1?y21??直线l y=x过AB的中点(),则,解得k=0，或k=,1?2k221?2k2222－1
若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=－1，直线l的方程为y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一
例3如图，已知△P1OP2的面积为
27，P为线段4PP2P1P1P2的一个三等分13的双曲线方2点，求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为程
命题意图 本题考查待定系数法求双曲线的方程学知识分析问题、解决问题的能力
o以及综合运用所
知识依托 定比分点坐标公式；三角形的面积公式；以及点在曲线上，点的坐标适合方程
错解分析 利用离心率恰当地找出双曲线的渐近线方程是本题的关键，正确地表示出 △P1OP2的面积是学生感到困难的
技巧与方法 利用点P在曲线上和△P1OP2的面积建立参数a、b的两个方程，从而求出a、b的值
解 以O为原点，∠P1OP2的角平分线为x轴建立如图角坐标系
yP1关于
oP2Px的直
x2y2设双曲线方程为2?2=1(a＞0,b＞0)
ab
c2b132b3)，得? 由e=2?1?()2?(a2aa22
∴两渐近线OP1、OP2方程分别为y=设点P1(x1,
33x和y=－x 22P1P33x1),P2(x2,－x2)(x1＞0,x2＞0),则由点P分P=2,得P点1P2所成的比λ=
PP222x24y2在双曲线2?2a9a=1
上，所以
x?2x2x1?2x2坐标为(1),又点P,32(x1?2x2)2(x1?2x2)2?=1,
9a29a2即(x1+2x2)－(x1－2x2)=9a,整理得8x1x2=9a ①
2222
921392132x1?x1,|OP|?x2?x2?x2424232?2tanP1Ox2?12sinP1OP2?? 29131?tanP1Ox1?411131227?S?P1OP2?|OP1|?|OP2|?sinP1OP2??x1x2??,224134又|OP1|?x1?2即x1x2=
9 22
②
2
由①、②得a=4,b=9
x2y2?故双曲线方程为=1 49x2y2?2=1(b∈N)的两个焦点F1、F2，P为双曲线上一点，|OP|＜例4 双曲线
4b5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列，则b=_________
解析 设F1(－c,0）、F2(c,0)、P(x,y),则 |PF1|+|PF2|=2(|PO|+|F1O|)＜2(5+c), 即|PF1|+|PF2|＜50+2c,
又∵|PF1|+|PF2|=(|PF1|－|PF2|)+2|PF1|·|PF2|, 依双曲线定义，有|PF1|－|PF2|=4, 依已知条件有|PF1|·|PF2|=|F1F2|=4c ∴16+8c＜50+2c,∴c＜
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