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第六章 空解析几何与向量代数习题参考解答
2） [(a?c)b?(b?c)a]?c?[(a?c)b?c?(b?c)a?c]?(c?b)[a?c?a?c] ?0?[(a?c)b?(b?c)a]?c.
5、 求点M(1,2,1)的向径OM与坐标轴之间的夹角.
解：设OM与x、y、z轴之间的夹角分别为?,?,?，则cos??i?OMiOM?112?(2)2?1?1, 2cos??
j?OMjOM?πππ2k?OM1, cos???. ???, ??, ??.
3432kOM26、 求与a?i?j?k平行且满足a?x?1的向量x.
解：因a//x, 故可设x??a???,?,??，再由a?x?1得??????1，即??
7、求与向量a?3i?2j?4k，b?i?j?2k都垂直的单位向量.
1?111?，从而x??,,?. 3?333?i解：c?a?b?axbx
jaybyijkk1?c?2j?k?. ???az?3?24?10j?5k，|c|?102?52?55, ?c0?|c|5??511?2bz8、 在顶点为A(1,?1,2)、B(5,?6,2)和C(1,3,?1)的三角形中，求三角形ABC的面积以及AC边上的高BD.解：AC??0,4,?3},AB?{4,?5,0},三角形ABC的面积为S?
1125|AC?AB|?152?122?162?, 222|AC|?42?(?3)2?5,S?
1251|AC||BD| ??5?|BD| ?|BD|?5. 2229、 已知向量a?0，b?0，证明|a?b|2?|a|2|b|2?(a?b)2.
解 |a?b|2?|a|2?|b|2sin2(ab)?|a|2?|b|2[1?cos2(ab)]?|a|2?|b|2 ?|a|2?|b|2cos2(ab)?|a|2?|b|2 ?(a?b)2.
10、 证明：如果a?b?c?0，那么b?c?c?a?a?b，并说明它的几何意义.
证： 由a?b?c?0, 有(a?b?c)?c?0?c?0, 但c?c?0，于是a?c?b?c?0,所以b?c??a?c?c?a. 同理 由(a?b?c)?a?0, 有 c?a?a?b,从而 b?c?c?a?a?b.
其几何意义是以三角形的任二边为邻边构成的平行四边形的面积相等.
11、 已知向量a?2i?3j?k,b?i?j?3k和c?i?2j，计算下列各式：
（1）(a?b)c?(a?c)b （2）(a?b)?(b?c) （3）(a?b)?c （4）a?b?c 解： （1）(a?b)c?(a?c)b?8(i?2j)?8(i?j?3k)??8j?24k.
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ij(2) a?b?3i?4j?4k,b?c?2i?3j?3k，故(a?b)?(b?c)?3?42?3ij（3）(a?b)?c?2?31?1k2?31?(i?2j)?(?8i?5j?k)?(i?2j)?1?131?2k4??j?k. 313?2. 0ij（4）由（3）知a?b??8i?5j?k,(a?b)?c??8?51?2k1?2i?j?21k. 0
习 题 6—3
1、已知A(1,2,3)，B(2,?1,4)，求线段AB的垂直平分面的方程. 解：设M(x,y,z)是所求平面上任一点，据题意有|MA|?|MB|,
?x?1?2??y?2?2??z?3?2??x?2?2??y?1?2??z?4?2,
化简得所求方程2x?6y?2z?7?0.这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程? 而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程就是所求平面的方程.
2、 一动点移动时，与A(4,0,0)及xOy平面等距离，求该动点的轨迹方程.
解：设在给定的坐标系下，动点M(x,y,z)，所求的轨迹为C，则M(x,y,z)?C?MA?z 亦即
(x?4)2?y2?z2?z ?(x?4)2?y2?0从而所求的轨迹方程为(x?4)2?y2?0.
3、 求下列各球面的方程：
（1）圆心(2,?1,3)，半径为R?6； （2）圆心在原点，且经过点(6,?2,3)；
（3）一条直径的两端点是(2?3,5)与(4,1,?3)；（4）通过原点与(4,0,0),(1,3,0),(0,0,?4) 解：（1）所求的球面方程为：(x?2)?(y?1)?(z?3)?36 （2）由已知，半径R?22262?(?2)2?32?7，所以球面方程为x2?y2?z2?49
2?4?3?15?3?3,b???1,c??1， 222（3）由已知，球面的球心坐标a?球的半径R?1(4?2)2?(1?3)2?(5?3)2?21，所以球面方程为： 26
第六章 空解析几何与向量代数习题参考解答
(x?3)2?(y?1)2?(z?1)2?21
（4）设所求的球面方程为：x?y?z?2gx?2hy?2kz?l?0
222?l?0?l?0?16?8g?0?h??1??因该球面经过点(0,0,0),(4,0,0),(1,3,0),(0,0,?4)，所以? 解之得?
10?2g?6h?0g??2?????16?8k?0?k?2?所求的球面方程为x2?y2?z2?4x?2y?4z?0.
4、将yOz坐标面上的抛物线y2?2z绕z旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程． 解：x2?y2?2z(旋转抛物面) .
x2z25、将zOx坐标面上的双曲线2?2?1分别绕x轴和z轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．
acx2y2?z2x2?y2z2?1 绕z轴旋转得?2?1. 解： 绕x轴旋转得2?22acac
6、指出下列曲面的名称，并作图：
x2z2222222??1；（1）（2）y?2z；（3）x?z?1 ；（4）x?y?z?2x?0； 49x2y2??z?1； （5）y?x?z；（6）4x?4y?z?1；（7）
91622222x2y2x2y2z22222??z??1；???1；（8）（9）（10）2x?2y?1?3z.
43349解： (1)椭圆柱面；(2) 抛物柱面；(3) 圆柱面；(4)球面；（5）圆锥面；（6）双曲抛物面；
（7）椭圆抛物面；（8）双叶双曲面；（9）为旋转椭球面；（10）单叶双曲面.
7、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形？ （1）y?x?1 ；（2）x?y2222?4；（3）x?y?1；（4）x2?2y.
解：（1）y?x?1在平面解析几何中表示直线，在空间解析几何中表示平面； （2）x?y22?4在平面解析几何中表示圆周，在空间解析几何中表示圆柱面；
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第六章 空解析几何与向量代数习题参考解答
（3）x?y（4）x222?1在平面解析几何中表示双曲线，在空间解析几何中表示双曲柱面；
?2y在平面解析几何中表示抛物线，在空间解析几何中表示抛物柱面.
8、 说明下列旋转曲面是怎样形成的？
y2x2y2z22（1）（2）x?（4）(z?a)2?x2?y2 ???1；?z2?1（3）x2?y2?z2?1；
4994x2y2x2z2解：（1）xOy平面上椭圆??1绕x轴旋转而成；或者 xOz平面上椭圆??1绕x轴旋转而成
4949y2y222（2）xOy平面上的双曲线x??1绕y轴旋转而成；或者 yOz平面上的双曲线z??1绕y轴旋转而成
44（3）xOy平面上的双曲线x2?y2?1绕x轴旋转而成；或者 xOz平面上的双曲线x2?z2?1绕x轴旋转而成 （4）yOz平面上的直线z?y?a绕z轴旋转而成或者 xOz平面上的直线z?x?a绕z轴旋转而成.
9、 画出下列各曲面所围立体的图形：
（1）3x?4y?2z?12?0与三个坐标平面所围成；（2）z?4?x,2x?y?4及三坐标平面所围成； （3）z=0,z=a(a>0),y=x,x2+y2=1及x?0在第一卦限所围成；（4）z?x2?y2,z?8?x2?y2所围. 解：（1）平面3x?4y?2z?12?0与三个坐标平面围成一个在第一卦限的四面体； （2）抛物柱面z?4?x2与平面2x?y?4及三坐标平面所围成；
（3）坐标面z=0、x?0及平面z=a(a>0)、y=x和圆柱面x2+y2=1在第一卦限所围成； （4）开口向上的旋转抛物面z?x2?y2与开口向下的抛物面z?8?x2?y2所围.作图略.
2习 题 6—4
1、画出下列曲线在第一卦限内的图形
222???x?1?z?4?x2?y2?x?y?a（1）?；（2）?；（3）?
222y?2?x?z?a????x?y?0解：（1）是平面x?1与y?2相交所得的一条直线； （2）上半球面z?4?x2?y2与平面x?y?0的交线为（3）圆柱面x2?y2?a2与x2?z2?a2的交线.图形略.
222??2x?y?z?162、分别求母线平行于x轴及y轴而且通过曲线?的柱面方程.
222?x?z?y?0?1圆弧； 4解：消去x坐标得3y?z?16，为母线平行于x轴的柱面；
消去y坐标得：3x?2z?16，为母线平行于y轴的柱面.
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