发布时间 : 星期三 文章2019届二轮（文科数学） 选考部分(选修4-4、选修4-5) 专题卷（全国通用）更新完毕开始阅读
送分专练5 选考部分(选修4－4、选修4
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1．(2018·全国卷Ⅰ)[选修4－4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.
(1)求C2的直角坐标方程；
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．
[解] (1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4. (2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆．
由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．
|－k＋2|当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，所以2k＋144
＝2，故k＝－3或k＝0.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－3时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．
|k＋2|
当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，所以2＝
k＋144
2，故k＝0或k＝3.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝3时，l2与C2没有公共点．
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综上，所求C1的方程为y＝－3|x|＋2. (2018·全国卷Ⅰ)[选修4－5：不等式选讲] 已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.
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(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若x∈(0,1)时，不等式f(x)>x成立，求a的取值范围． [解] (1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，
?－2，x≤－1，
即f(x)＝?2x，－1 ?2，x≥1. 故不等式f(x)>1的解集为. (2)当x∈(0,1)时|x＋1|－|ax－1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax－1|<1成立． 若a≤0，则当x∈(0,1)时|ax－1|≥1； 22? 若a>0，|ax－1|<1的解集为x?0 ?综上，a的取值范围为(0,2]． 2．(2018·全国卷Ⅱ)[选修4－4：坐标系与参数方程] ?x＝2cos θ，在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?(θ为参数)，直线 y＝4sin θ??x＝1＋tcos α， l的参数方程为?(t为参数)． ?y＝2＋tsin α (1)求C和l的直角坐标方程； (2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率． x2y2 [解] (1)曲线C的直角坐标方程为4＋16＝1. 当cos α≠0时，l的直角坐标方程为y＝tan α·x＋2－tan α， 当cos α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1. (2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程 (1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.① 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0. 4?2cos α＋sin α?又由①得t1＋t2＝－，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l的斜 1＋3cos2α率k＝tan α＝－2. 2 (2018·全国卷Ⅱ)[选修4－5：不等式选讲] 设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集； (2)若f(x)≤1，求a的取值范围． [解] ?2x＋4，x≤－1， (1)当a＝1时，f(x)＝?2，－1 ?－2x＋6，x>2. 可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}． (2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4. 而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2时等号成立． 故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4. 由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2. 所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)． 3．(2018·全国卷Ⅲ)[选修4－4：坐标系与参数方程] ?x＝cos θ，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为?(θ为参数)，过 ?y＝sin θ点(0，－2)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点． (1)求α的取值范围； (2)求AB中点P的轨迹的参数方程． [解] (1)⊙O的普通方程为x2＋y2＝1. π 当α＝2时，l与⊙O交于两点． π 当α≠2时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－2.l与⊙O交于两点当且仅2πππ3π当<1，解得k<－1或k>1，即α∈4，2或α∈2，4. 1＋k2综上，α的取值范围是 . ?x＝tcos α，π3π (2)l的参数方程为?t为参数，4<α<4. ?y＝－2＋tsin α tA＋tB 设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝2，且tA，tB满足t2－ 3 22tsin α＋1＝0. 于是tA＋tB＝22sin α，tP＝2sin α. ?x＝tPcos α， 又点P的坐标(x，y)满足? ?y＝－2＋tPsin α.所以点P的轨迹的参数方程是 2?x＝?2sin 2α，?22?y＝－－?22cos 2α π3π α为参数，4<α<4. (2018·全国卷Ⅲ)[选修4－5：不等式选讲] 设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|. (1)画出y＝f(x)的图象； (2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值． 图1-5-1 ??1[解] (1)f(x)＝?x＋2，－2≤x<1， ??3x，x≥1. y＝f(x)的图象如图所示． 1－3x，x<－2， 4