发布时间 : 星期四 文章十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题04 导数与定积分 含解析更新完毕开始阅读
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(3)因为a=0,c=1,
所以f(x)=x(x-b)(x-1)=x3
-(b+1)x2
+bx,f'(x)=3x2
-2(b+1)x+b. 因为0
所以Δ=4(b+1)2
-12b=(2b-1)2+3>0, 则f'(x)有2个不同的零点, 设为x1,x2(x1 由f'(x)=0,得x1=,x2=. 列表如下 x (-∞,x1) x1 (x1,x2) x2 (x2,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ (解法一) M=f(x1)=-(b+1)+bx1=[3-2(b+1)x1+b]x1+ =)3 =)3 ≤. 因此M≤. (解法二) 因为0 当x∈(0,1)时,f(x)=x(x-b)(x-1)≤x(x-1)2 . 令g(x)=x(x-1)2 ,x∈(0,1), 则g'(x)=3(x-1). 名师精心整理 助您一臂之力 21 名师精心整理 助您一臂之力 令g'(x)=0,得x=. 列表如下: x g'(x) g(x) + ↗ 0 极大值 - ↘ 所以当x=时,g(x)取得极大值,且是最大值,故g(x)max=g. 所以当x∈(0,1)时,f(x)≤g(x)≤. 因此M≤. 50.(2019·全国3·理T20)已知函数f(x)=2x-ax+b. (1)讨论f(x)的单调性; (2)是否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,说明理由. 【解析】(1)f'(x)=6x-2ax=2x(3x-a). 2 3 2 令f'(x)=0,得x=0或x=. 若a>0,则当x∈(-∞,0)∪时,f'(x)>0; 当x∈时,f'(x)<0. 故f(x)在(-∞,0),单调递增,在单调递减; 若a=0,f(x)在(-∞,+∞)单调递增; 若a<0,则当x∈∪(0,+∞)时,f'(x)>0; 名师精心整理 助您一臂之力 22 名师精心整理 助您一臂之力 当x∈时,f'(x)<0. 故f(x)在,(0,+∞)单调递增,在单调递减. (2)满足题设条件的a,b存在. (ⅰ)当a≤0时,由(1)知,f(x)在[0,1]单调递增,所以f(x)在区间[0,1]的最小值为f(0)=b,最大值为f(1)=2-a+b.此时a,b满足题设条件当且仅当b=-1,2-a+b=1,即a=0,b=-1. (ⅱ)当a≥3时,由(1)知,f(x)在[0,1]单调递减,所以f(x)在区间[0,1]的最大值为f(0)=b,最小值为f(1)=2-a+b.此时a,b满足题设条件当且仅当2-a+b=-1,b=1,即a=4,b=1. (ⅲ)当0