发布时间 : 星期日 文章十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题04 导数与定积分 含解析更新完毕开始阅读
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于是m=-+2,M=
所以M-m=
当0 所以M-m的取值范围是. 当2≤a<3时,单调递增,所以M-m的取值范围是. 综上,M-m的取值范围是. 47.(2019·浙江·T22)已知实数a≠0,设函数f(x)=aln x+ ,x>0. (1)当a=-时,求函数f(x)的单调区间; (2)对任意x∈ ,+∞均有f(x)≤,求a的取值范围. 注:e=2.718 28…为自然对数的底数. 【解析】(1)当a=-时,f(x)=-ln x+,x>0. f'(x)=- =, 所以,函数f(x)的单调递减区间为(0,3),单调递增区间为(3,+∞). (2)由f(1)≤,得0 当0 名师精心整理 助您一臂之力 17 名师精心整理 助您一臂之力 令t=,则t≥2设g(t)=tg(t)=①当x∈ 2 . -2ln x,t≥2 2 -2t - ,则 t--2ln x. ≤2 ,则 ,+∞时, g(t)≥g(2)=8-4-2ln x. 记p(x)=4-2-ln x,x≥,则 p'(x)= = =故 x p'(x) p(x) p . ,1 - 单调递减 1 0 极小值p(1) (1,+∞) + 单调递增 所以,p(x)≥(1)=0. 因此,g(t)≥g(2②当x∈g(t)≥g令q(x)=2 )=2p(x)≥0. 时, = ln x+(x+1),x∈ . ,则 q'(x)=+1>0, 名师精心整理 助您一臂之力 18 名师精心整理 助您一臂之力 故q(x)在上单调递增, 所以q(x)≤q. 由①得,q =- p <-p(1)=0. 所以,q(x)<0. 因此,g(t)≥g=->0. 由①②知对任意x∈,+∞,t∈[2 ,+∞),g(t)≥0, 即对任意x∈ ,+∞,均有f(x)≤. 综上所述,所求a的取值范围是0, . 48.(2019·全国2,文21,12分,难度)已知函数f(x)=(x-1)ln x-x-1.证明: (1)f(x)存在唯一的极值点; (2)f(x)=0有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数. 【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞). f'(x)=+ln x-1=ln x-. 因为y=ln x单调递增,y=单调递减,所以f'(x)单调递增. 又f'(1)=-1<0,f'(2)=ln 2->0,故存在唯一x0∈(1,2),使得f'(x0)=0. 又当x (2)由(1)知f(x0) )=e2 -3>0, 所以f(x)=0在区间(x0,+∞)内存在唯一根x=α. 由α>x0>1得<1 又f（=（-1）ln -1==0, 名师精心整理 助您一臂之力 19 名师精心整理 助您一臂之力 故是f(x)=0在(0,x0)的唯一根. 综上,f(x)=0有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数. 49.(2019·江苏,19,16分,难度)设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,c∈R,f'(x)为f(x)的导函数. (1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值; (2)若a≠b,b=c,且f(x)和f'(x)的零点均在集合{-3,1,3}中,求f(x)的极小值; (3)若a=0,0 所以f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=(x-a)3 . 因为f(4)=8, 所以(4-a)3 =8,解得a=2. (2)因为b=c, 所以f(x)=(x-a)(x-b)2 =x3 -(a+2b)x2 +b(2a+b)x-ab2 , 从而f'(x)=3(x-b). 令f'(x)=0,得x=b或x=. 因为a,b,都在集合{-3,1,3}中,且a≠b, 所以=1,a=3,b=-3. 此时,f(x)=(x-3)(x+3)2 ,f'(x)=3(x+3)(x-1). 令f'(x)=0,得x=-3或x=1. 列表如下: x (-∞,-3) -3 (-3,1) 1 (1,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以f(x)的极小值为f(1)=(1-3)(1+3)2 =-32. 名师精心整理 助您一臂之力 20