发布时间 : 星期日 文章江苏省无锡市惠山区2015-2016学年度八年级数学上学期期末考试试题（含解析） 苏科版更新完毕开始阅读
②若是相遇后，则15x+30x=30+3，
解得x=，
③若是到达B地前，则15x﹣30（x﹣1）=3， 解得x=，
所以，当≤x≤或≤x≤2时，甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系．
【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，难点在于（3）要分情况讨论．
26．如图，直线MN与x轴，y轴正半轴分别交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，直线y=x与直线MN交于点P，已知AC=10，OA=8． （1）求P点坐标；
（2）作∠AOP的平分线OQ交直线MN与点Q，点E、F分别为射线OQ、OA上的动点，连结AE与EF，试探索AE+EF是否存在最小值？若存在，请直接写出这个最小值；若不存在请说明理由；
（3）在直线MN上存在点G，使以点G，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出G点
的坐标．
【考点】一次函数综合题．
【专题】综合题；一次函数及其应用． 【分析】（1）由AC与OA的长，利用勾股定理求出OC的长，确定出C坐标，利用待定系数法求出直线MN解析式，与y=x联立求出交点P坐标即可；
（2）作出相应的图形，如图1所示，作出A关于射线OQ的对称点A′，可得OA′=OA=8，过A′作A′F⊥OA，交射线OQ于点E，角射线OA于点F，此时A′E+EF=AE+EF存在最小值，求出即可； （3）在直线MN上存在点G，使以点G，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况考虑：①PC=PB，此时P为线段BC垂直平分线与直线MN的交点；②PC=BC=8；③PB=BC=8，分别求出P坐标即可．
【解答】解：（1）∵AC=10，OA=8， ∴OC=
=
=6，
∴C（0，6）；
设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0）， ∵点A、C都在直线MN上，
∴，
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解得：，
∴直线MN的解析式为y=﹣x+6， ∵P为y=﹣x+6与直线y=x的交点． ∴﹣x+6=x， 解得：x=
，
）；
∴p的坐标为（，
（2）如图1所示：
作出A关于射线OQ的对称点A′，可得OA′=OA=8，过A′作A′F⊥OA，交射线OQ于点E，角射线OA于点F，
此时A′E+EF=AE+EF存在最小值，在Rt△A′OF中，∠A′OF=45°，
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设A′F=OF=x，根据勾股定理得：x+x=8， 解得：x=4则最小值为4
， ；
（3）如图2所示：
∵A（8，0），C（0，6）， ∴根据题意得：B（（8，6）， ∵P在直线MN：y=﹣x+6上， ∴设P（a，﹣a+6），
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在直线MN上存在点G，使以点G，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形， 分三种情况考虑：
①当PC=PB时，P点为BC垂直平分线与MN交点，此时P1（4，3）； ②当PC=BC=8时，根据两点间的距离公式得：a+（﹣a+6﹣6）=64， 解得：a=±此时P2（﹣
， ，
），P3（
，）；
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2
2
2
③当PB=BC=8时，根据两点间的距离公式得：（a﹣8）+（﹣a+6﹣6）=64， 解得：a=
，可得﹣a+6=﹣
，此时P4（
，﹣
），
则符合条件的点P有：P1（4，3），P2（﹣，），P3（，），P4（，﹣）．
【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，两点间的距离公式，待定系数法确定一次函数解析式，等腰三角形的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
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