发布时间 : 星期五 文章人教版2020高中数学 第2章 推理与证明 2.1.1 合情推理(1)学案 苏教版选修1-2更新完毕开始阅读
点是三角形内切圆的圆心 这个点是四面体内切球的球心 规律方法 将平面几何中的三角形、长方形、圆、面积等和立体几何中的三棱锥、长方体、球、体积等进行类比，是解决和处理立体几何问题的重要方法．
跟踪演练3 类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是________．
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等． 答案 ①②③
解析 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫类比推理，上述三个结论均符合推理结论，故均正确.
1．下列推理中，是归纳推理的有________．
①A，B为定点，动点P满足PA＋PB＝2a＞AB，得P的轨迹为椭圆； ②由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜出数列的前n项和Sn的表达式；
x2y2
③由圆x＋y＝r的面积πr，猜想出椭圆2＋2＝1的面积S＝πab；
ab2
2
2
2
④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇． 答案 ②
解析 从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn是从特珠到一般的推理．
2．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子的颜色是________．
答案 白色
解析 由图知：三白二黑周而复始相继排列，36÷5＝7余1.∴第36颗珠子的颜色为白色． 3．将全体正整数排成一个三角形数阵：
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
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……………………
按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________． 答案
n2－n＋6
2
解析 前n－1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)个，即正整数中第
n2－n2
个，因此第n行第3个数是全体
n2－n2
＋3个，即为
n2－n＋6
2
.
4．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为
n(n＋1)
2
＝
121
n＋n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达22式：
121三角形数 N(n,3)＝n＋n，
22正方形数N(n,4)＝n， 321
五边形数N(n,5)＝n－n，
22六边形数N(n,6)＝2n－n ………………………………………
可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝____________. 答案 1000
解析 由N(n,4)＝n，N(n,6)＝2n－n， 可以推测：当k为偶数时，
2
2
22
k－224－kN(n，k)＝n＋n，
2
2
24－24－24∴N(10,24)＝×100＋×10
22＝1100－100＝1000.
1.合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．合情推理的过程概括为：
从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想 一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，其可靠性还需进一步证明．
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2．归纳推理与类比推理都属合情推理：
(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．它是一种由部分到整体，由个别到一般的推理．
(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，它是一种由特殊到特殊的推理.
一、基础达标
1．下面几种推理是合情推理的是________． ①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和是180°；
③某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸n边形内角和是(n－2)·180°. 答案 ①②④
2．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“__________”，这个类比命题的真假性是__________． 答案 夹在两平行平面间的平行线段相等 真命题 3．观察下列等式：
1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，由此推测第
n个等式为
________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________. 答案 1－2＋3－4＋…＋(－1)4．如图(1)有面积关系：
2
2
2
2
n－1
·n＝(－1)
2n－1
·(1＋2＋3＋…＋n)
S△PA′B′PA′·PB′VP－A′B′C′
＝，则图(2)有体积关系：＝________. S△PABPA·PBVP－ABC
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答案
PA′·PB′·PC′
PA·PB·PCVP－A′B′C′PA′·PB′·PC′
＝. VP－ABCPA·PB·PC2,3
3
3
3
2
解析 把平面中三角形的知识类比到空间三棱锥中，得3
3
2,3
3
3
5．观察下列等式：1＋2＝(1＋2)1＋2＋3＝(1＋2＋3)1＋2＋3＋4＝(1＋2＋3＋4)，…，根据上述规律，第四个等式为
________________________________________________________________________． 答案 1＋2＋3＋4＋5＝(1＋2＋3＋4＋5)(或15)
解析 观察前3个等式发现等式左边分别是从1开始的两个数、三个数、四个数的立方和，等式右边分别是这几个数的和的平方，因此可得第四个等式是：1＋2＋3＋4＋5＝(1＋2＋3＋4＋5)＝15. 6．观察下列等式
1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
…
照此规律，第n个等式为
________________________________________________________________________． 答案 n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)
7．在△ABC中，若∠C＝90°，则cosA＋cosB＝1，用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想．
解 由平面类比到空间，有如下猜想：“在三棱锥P－ABC中，三个侧面PAB，PBC，PCA两两垂直，且与底面所成的角分别为α，β，γ，则cosα＋cosβ＋cosγ＝1”． 证明 设P在平面ABC的射影为O，延长CO交AB于M，记PO＝h， 由PC⊥PA，PC⊥PB得PC⊥面PAB，从而PC⊥PM，又∠PMC＝α， cosα＝sin∠PCO＝，cosβ＝，cosγ＝， 11?1
∵VP－ABC＝PA·PB·PC＝?PA·PBcosα＋
63?2
2
2
2
2
22
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
2
hPChPAhPB
1PB·2∴?
2
PCcosβ＋PC·PAcosγ??·h，
1
2
?
?cosα＋cosβ＋cosγ?h＝1，
PAPB??PC?
2
2
即cosα＋cosβ＋cosγ＝1.
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