发布时间 : 星期三 文章高考数学复习点拨 函数方程思想在解题中的应用更新完毕开始阅读
53a2a251解:y?1?cosx?acosx?a???(cosx?)??a?.8224822当0?x?若?2时,0?cosx?1.a53?1时,即a?2,则当cosx?1时,ymax?a?a??128220?a??2(舍去),
13aaa251若0??1,即0?a?2,则当cosx?时,ymax??a??1224823?a?或a??4?0(舍去).2a5112若?0,即a?0,则当cosx?0时,ymax?a??1?a??(舍去).2825七. 在二项式定理方面的运用
例13.设(2?x)5?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4?a5x5，则a1?a3?a5?____。 分析：本式为二项式展开式中的偶数项系数和，而不是偶数项二项式系数和，不能直接用二项式系数性质求解，但可用赋值法构造方程求解。
解：由于f(x)?(2?x)5?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4?a5x5。
令x?1得：f(1)?(2?1)5?a0?a1?a2?a3?a4?a5?1……① 令x??1得：f(?1)??2?(?1)??a0?a1?a2?a3?a4?a5?35……② 两式相加再除以2得：a1?a3?a5??121。
5021222n?12n2n例14.求证：(Cn)?(Cn)?(Cn)???(Cn)?(Cn)?C2n。
k2kkkn?kkn?k分析：从(Cn是(1?x)n展开式中xk项系数，Cn是)?CnCn?CnCn，Cn(x?1)n展开式中xn?k项系数，故可利用(1?x)n?(x?1)n?(1?x)2n两边二项展开式中对应项系数相等来加以证明：?(1?x)n?(x?1)n?(1?x)2n左边展开式中的xn系数为：
0n1n?12n?2kn?kn0CnCn?CnCn?CnCn???CnCn???CnCn021222n?12n2n?(Cn)?(Cn)?(Cn)???(Cn)?(Cn)而右边展开式系数和为C2n。
021222n?12n2n故(Cn)?(Cn)?(Cn)???(Cn)?(Cn)?C2n。
八. 在概率统计方面的运用
例15某电器商经过多年的经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数ζ是一个随机变量，它的分布列如下：
ζ P 1 2 3 …… 12 1111 …… 12121212设每售出一台电冰箱，电器商获利300元，如销售不出而囤积于仓库，则每台每月需花
保养费用100元，问电器商每月初购进多少台电冰箱才能使自己月平均收益最大？
命题意图：本题考查利用概率中的某些知识如期望来解决实际问题. 知识依托：期望的概念及函数的有关知识.
错解分析：在本题中，求Ey是一个难点，稍有不慎，就将产生失误.
技巧与方法：可借助概率分布、期望、方差等知识来解决日常生产生活中的实际问题. 解：设x为月初电器商购进的冰箱台数，只须考虑1≤x≤12的情况，设电器商每月的收
?300x,??x益为y元，则y是随机变量ζ的函数且y=?,电器商平均每月获益的
300x?100(x??),??x?平均数，即数学期望为：Ey=300x(Px+Px+1+…+P12)+［300－100(x－1)］P1+［2×300－100(x
－2)］P2+…+［300(x－1)－100］Px－1
=300x(12－x+1)=
11x(x?1)(x?1)x+ ［300×］ ?100?22121225(－2x2+38x) 3由于x∈N,故可求出当x=9或x=10时，也即电器商月初购进9台或10台电冰箱时，收益最大.
例16.某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有Ａ、Ｂ两个等级，对每种产品，两道工序的加工结果都为Ａ级时，产品为一等品，其余均为二等品． 表一
（Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的
概 工 加工结果为Ａ级的概率如表一所示，分别求生
率 序 第一工序 第二工序 产出的甲、乙产品为一等品的概率Ｐ甲、Ｐ乙；
产品
甲 乙 0.8 0.75 表二 一等 5(万元) 2.5(万元) 0.85 0.8 （Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用?、
?分别表示一件甲、乙产品的利润，在（Ⅰ）
的条件下，求?、?的分布列及E?、E?；
（Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资 金如表三所示，该工厂有工人40名，可用资 金60万，设x、y分别表示生产甲、乙产品 的数量，在（Ⅱ）的条件下，x、y为何值时
利 等 润 级 产品 二等 2.5(万元) 1.5(万元) 甲 乙
表三 用 项 量 目 产品 工人(名) 8 2 资金(万元) 5 10 z?xE??yE?最大？最大值是多少？
甲 乙 （解答时须给出图示）
（本小题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的分布列及期望、线性规划模型的建
立与求解等基础知识，考查通过建立简单的数学模型以解决实际问题的能力. 解:（Ⅰ）解：P,甲?0.8?0.85?0.68P乙0.75?0.8?0.6.
（Ⅱ）
解：随机变量?、?的分别列是
? 5 2.5 ? 2.5 1.5 P 0.68 0.32 P 0.6 0.4
E??5?0.68?2.5?0.32?4.2, E??2.5?0.6?1.5?0.4?2.1.
?5x?10y?60（Ⅲ）解：由题设知?,??8x?2y?40,
?x?0,??y?0.目标函数为
z?xE??yE??4.2x?2.1y.
作出可行域（如图）： y l1 lM o8x?2y?405x?10y?60x 4.2x?2.1y?0
作直线l: 4.2x?2.1y?0,
将l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上 的点M点与原点距离
最大z?4.2x?2.1y ……10分
取最大值. 解方程组??5x?10y?60,?8x?2y?40.
得x?4,y?4.即x?4,y?4时，z取最大值，z的最大值为25.2 . 九.在平面向量方面的应用
此 时
，
例17.已知向量a?(x2,x?1),b?(1?x,t),若函数f(x)?a?b在区间（－1，1）上是增函数，
求t的取值范围.
解法1：依定义f(x)?x2(1?x)?t(x?1)??x3?x2?tx?t,
则f?(x)??3x2?2x?t.
若f(x)在(?1,1)上是增函数,则在(?1,1)上可设f?(x)?0.
?f?(x)?0?t?3x2?2x,在区间(?1,1)上恒成立,考虑函数g(x)?3x2?2x, 1由于g(x)的图象是对称轴为x?,3开口向上的抛物线，故要使t?3x2?2x在区间（－1，1）上恒成立
?t?g(?1),即t?5.
而当t?5时,f?(x)在(?1,1)上满足f?(x)?0,即f(x)在(?1,1)上是增函数.
故t的取值范围是t?5.
解法2：依定义f(x)?x2(1?x)?t(x?1)??x3?x2?tx?t,
f?(x)??3x2?2x?t.若f(x)在(?1,1)上是增函数,则在(?1,1)上可设f?(x)?0.?f?(x)的图象是开口向下的抛物线，
?当且仅当f?(1)?t?1?0,且f?(?1)?t?5?0时
f?(x)在(?1,1)上满足f?(x)?0,即f(x)在(?1,1)上是增函数.故t的取值范围是t?5.
十.在实际问题方面的运用.
例18.运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的速度分别为v千米/小时、2v千米/小时、10v千米/小时，每千米的运费分别为a元、b元、c元.且b＜a＜c,又这批海鲜在运输过程中的损耗为m元/小时，若使用三种运输工具分别运输时各自的总费用（运费与损耗之和）互不相等.试确定使用哪种运输工具总费用最省.（题中字母均为正的已知量）
.解：设运输路程为S（千米），使用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用分别为y1(元)、y2(元)、y3(元).则由题意，y1?aS?Smmm?(a?)S.y2?(b?)S, vv2v