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积分因子的求法及简单应用
1. 恰当微分方程的概念及判定
1.1 恰当微分方程的概念 我们可以将一阶方程
dy?f?x,y?dx
写成微分形式
f?x,y?dx?dy?0
或把x,y平等看待，写成下面具有对称形式的一阶微分方程
M?x,y?dx?N?x,y?dy?0 ⑴
这里假设M(x,y)，N(x,y)在某矩形域内是x，y的连续函数，且具有连续的一阶偏导数，如果方程⑴的左端恰好是某个二元函数u(x,y)的全微分. 即
M?x,y?dx?N?x,y?dy?du?x,y???u?udx?dy?x?y
则称方程⑴为恰当微分方程. 1.2 恰当微分方程的判定
?1?
定理1 假设函数M(x,y)和N(x,y)在某矩形域内是x，y的连续函数且具有连续的一阶偏导数，则方程⑴是恰当微分方程的充分必要条件是在此区域内恒有
?M?N??y?x.
利用定理1我们就可以判定出一个微分方程是否是恰当微分方程.
2. 积分因子
?M?N??y?x，此时方程⑴就称为非恰当微分方如果对于方程⑴在某矩形域内
程。对于非恰当微分方程，如果存在某个连续可微的函数u(x,y)≠0,使得
1
u?x,y?M?x,y?dx?u?x,y?N?x,y?dy?0的1个积分因子.
为恰当微分方程，则称u(x,y)为方程⑴
注 可以证明，只要方程有解存在，则必有积分因子存在，并且不是唯一的. 定理2 函数u(x,y)是方程⑴的积分因子的充要条件是
N?u?u??M?N??M????u?x?y??y?x?
3. 积分因子求法举例
3.1 观察法
对于一些简单的微分方程，用观察法就可以得出积分因子 如:
1 ⑴ ydx?xdy?0有积分因子xy
11111222222ydx?xdy?0yx?yxyx?yx ⑵ 有积分因子，，，，
?1?xy?ydx??1?xy?xdy?0例1 找出微分方程?的一个积分因子. 解 将原方程各项重新组合可以写成
?ydx?xdy??xy?ydx?xdy??0
11由于xy是ydx?xdy的积分因子，xy也是ydx?xdy的积分因子，从而原方程
1xy有积分因子??2.
观察法只运用于求解简单的微分方程的积分因子，有的可以直接看出，有的需要先将原方程重新组合，再运用观察法得出. 3.2 公式法
22u?x?u?y?u?x?y?u?xy?u?x?y?引理1 微分方程⑴存在形如：，，，，，
2
?y?u???x?的积分因子的充要条件有：
① 方程⑴存在仅与x有关的积分因子的充要条件：
??x??
1??M?N????N??y?x?，??x?是仅与x有关的函数；
② 方程⑴存在仅与y有关的积分因子的充要条件：
??y???
1M??M?N??????y?x?，??y?是仅与y有关的函数；
③ 方程⑴有形如
u?x?y?的积分因子的充要条件：
?M?N??y?x??x?y??N?M，??x?y?是仅与x+y有关的函数，
?M?N??y?x??x?y??N?M，??x?y?是仅与x-y有关的函数；
④ 方程⑴有形如
u?xy?的积分因子的充要条件：
?M?N??y?x??xy??Ny?Mx，??xy?是仅与xy有关的函数；
⑤ 方程⑴有形如
u?x2?y2?的积分因子的充要条件：
?M?N??y?x??x2?y2??22??x2?y2?x?y2Nx?2My ，是仅与有关的函数， ?M?N??y?x??x2?y2??22??x2?y2?x?y2Nx?2My ，是仅与有关的函数；
?y?u?? ⑥ 方程⑴有形如?x?的积分因子的充要条件：
3
?M?N?y?y?x???????y11??y??x?Ny2?M??xx，?x?是仅与x有关的函数。
?M?N若方程⑴中的M(x,y)，N(x,y)以及?y，?x的关系满足以上6个充要条件
之一时，则方程⑴的积分因子u(x,y)都可由一阶线性齐次微分方程
dlnu?x,y???z???zdz求得（其中??是z的函数）.z可以取x，y，x?y，xy，y???z?dz22uz?e??x?y，x，由此可得.
我们将上述引理归结为求积分因子的公式法.
?x例2 求解微分方程
2y3?y?dx??x3y2?x?dy?0的积分因子.
?M?N??2Nx,y?y?M?x,y?x??2xy?y?x解 由于，?
观察可得：
?M?N?1?y?x??N?x,y?y?M?x,y?xxy1是关于xy的函数
故原方程有积分因子：3.3 分组求积分因子法
u?x,y??e??xyd?xy???1xy.
定理3 若u为方程⑴的一个积分因子，且uMdx?uNdy?dv，则方程⑴的积分因子，其中也可以说 微分方程?u??v?也是
??v?是v的任一连续可微函数.
M1dx?N1dy???M2dx?N2dy??0
u1是第一部分的积分因子，即u1M1dx?u1N1dy?du1 u2是第二部分的积分因子，即u2M2dx?u2N2dy?du2 从
?1?u1??2?u2?，
中选择满足
u1?1?u1??u2?2?u2?的
?1?u1?和
?2?u2?，其中
?1?u1?，
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