发布时间 : 星期一 文章福建省泉州市2019届高考数学一模试卷(文科)解析版更新完毕开始阅读
福建省泉州市2019届高考数学一模试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知集合A={0，1，2}，B={x|x=2n-1，n∈A}，则A∪B中元素的个数为（ ）
A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 2. 记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4=24，a1+a3=10，则a7=（ ）
8. 已知正三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的球面上，BC=3．若球心O在三棱锥的高AQ的三等分点
处，则球O的半径为（ ）
A.
A.
B.
B. 2 C. 3 D. 4
C. 15 D. 18
3. “微信”和“QQ”是腾讯社交体系中的两款产品，小明为了解不同群体对这两款产品的首选情况，统
计了周围老师和同学关于首选“微信”或“QQ”的比例，得到如图等高条形图．根据等高条形图中的
信息，可判断下列说法正确的是（ ）
9. 若直线y=kx-1为函数f（x）=lnx-a的图象的一条切线，则k+a的最小值为（ ）
A. B. C. 1 D. 2 10. 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，
=2?
-1，则S10=（ ）
A. 1022 B. 1024 C. 2046 D. 2048
11. 田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想的著名范例．故事中齐将田忌与齐王赛马，孙膑献策以下马对齐王上马，以上马对齐王中马，以中马对齐王下马，结果田忌一负两胜从而获胜．该故事中以局部的牺牲换取全局的胜利成为军事上一条重要的用兵规律，在比大小游戏中（大者为胜），已知我方的三个数为a=cosθ，b=sinθ+cosθ，c=cosθ-sinθ，对方的三个数以及排序如表： 对方
第一局 第二局 tanθ 第三局 sinθ 当0＜θ＜ 时，则我方必胜的排序是（ ）
A. a，b，c
A. 对老师而言，更倾向于首选“微信” B. 对学生而言，更倾向于首选“QQ”
C. 首选“微信”的老师比首选“微信”的同学多
D. 如果首选“微信”的老师比首选“微信”的同学多，则小明统计的老师人数一定比学生多
4. 若向量 =（ ， ）， =（-1，0），则∠BAC=（ ）
B. b，c，a C. c，a，b D. c，b，a
2
12. 在直角坐标系xOy中，点F是抛物线C：x=2py（p＞0）的焦点，过C上的点A作准线l的垂线交l
于B，过A作FB的垂线交FB于D，若|OD|=p，则直线AF的斜率为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
2019
13. 已知复数z=i?（1-i），则|z|=______．
A.
B. C.
D.
14. 设函数f（x）=
2
5. 已知双曲线C： -y=1（a＞0）的渐近线方程为y= x，则C的焦距为（ ）
，
f（x）＜1的x的取值范围是______． ，则满足
， ＜
A. 2 B. C. D. 6
z=x-2y的最小值为（ ） 6. 若x，y满足约束条件 ，则
AB=2BC=2，15. 在长方体ABCD-A B1C1D1中，直线DC1与平面ABCD所成的角为45°，则异面直线AD1
与DC1所成角的余弦值为______． ， ＜
g（x）=f（x）-2的所有零点之和为3，则a的取值范围16. 已知函数f（x）= ， ＜ ，若函数
， 为______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=5，（a+b）sinA=2bsin（A+C）．
（1）证明：△ABC为等腰三角形；
（2）点D在边AB上，AD=2BD，CD= ，求AB．
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A.
B.
C. 0 D. 2
7. 执行如图所示的程序框图，若输出S= ，则判断框内可以填入（ ）
A.
B. C. D.
18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=PD= ，PB=PC= ．
（1）证明：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）若点E为线段PA的中点，求E到平面PBC的距离．
出售鱼卷，则需把每箱售价下调2至5元，且每下调m元（2≤m≤5）销售量可增加100m箱，求小张在今年年底收入Y（单位：元）的最大值．
22
19. 在直角坐标系xOy中，圆O：x+y=4与y轴正、负半轴分别交于点A，B．椭圆Γ以AB为短轴，且离
心率为 ．
（1）求Γ的方程；
（2）过点A的直线l分别与圆O，曲线Γ交于点M，N（异于点A）．直线BM，BN分别与x轴交于点C，D．若|NC|=|ND|，求l的方程．
20. 鱼卷是泉州十大名小吃之一，不但本地人喜欢，还深受外来游客的赞赏．小张从事鱼卷生产和批发多
年，有着不少来自零售商和酒店的客户．当地的习俗是农历正月没有生产鱼卷，客户正月所需要的鱼卷都会在农历十二月底进行一次性采购．小张把去年年底采购鱼卷的数量x（单位：箱）在[100，200）的客户称为“熟客”，并把他们去年采购的数量绘制成如表：
采购数x（单位：[100，120） 箱） 客户数 10 [120，140） 10 [140，160） 5 [160，180） 20 [180，200） 5
22
21. 已知函数f（x）=ax-ax-lnx．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个大于1的零点，求a的取值范围．
22
22. 在直角坐标系xOy中，直线l：y=kx的倾斜角为α，曲线C：（x-1）+（y-1）=8．以坐标原点为极点，
x轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求l和C的极坐标方程；
（2）若l与C交于A，B两点，求||AO|-|BO||的取值范围．
23. 已知函数f（x）=|x-1|+|x-3|．
（1）求f（x）＞3的解集；
（2）若关于x的不等式f（x）
（1）根据表中的数据，在答题卡上补充完整这些数据的频率分布直方图，并估计采购数在168箱以上（含168箱）的“熟客”人数；
（2）若去年年底“熟客”们采购的鱼卷数量占小张去年年底总的销售量的 ，估算小张去年年底总的销售量（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）由于鱼卷受到游客们的青睐，小张做了一份市场调查，决定今年年底是否在网上出售鱼卷，若没有在网上出售鱼卷，则按去年的价格出售，每箱利润为20元，预计销售量与去年持平；若计划在网上
的解集非空，求m的取值范围．
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根据条件可求出求出
，从而可求出
，从而可得出∠BAC=60°．
，并且可求出，从而可
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
解：A={0，1，2}，B={-1，1，3}； ∴A∪B={-1，0，1，2，3}； ∴A∪B中元素的个数为5． 故选：D．
可求出集合B，然后进行并集的运算可求出A∪B，从而得出A∪B中元素的个数． 考查描述法、列举法的定义，元素与集合的关系，以及并集的运算． 2.【答案】C 【解析】
考查向量坐标的加法和数量积运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式． 5.【答案】C 【解析】
解：双曲线C：-y=1（a＞0）的渐近线方程为y=
2
x，
解：由S4=24，a1+a3=10可得∴a7=a1+6d=3+12=15， 故选：C． 由题意可得可得
，解得d=2，a1=3，
可得a=2，b=1，则c=． 所以C的焦距为：2． 故选：C．
利用双曲线的渐近线方程求出a，然后求解双曲线的焦距． 本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查． 6.【答案】A 【解析】
解：由z=x-2y得y=x-，
，解得d=2，a1=3，再根据通项公式即可求出．
作出x，y满足约束条件（阴影部分ABC）： 平移直线y=x-，
由图象可知当直线y=x-，过点A时， 直线y=x-的截距最大，此时z最小，
，解得A（1，2）
代入目标函数z=x-2y， 得z=1-2×2=-3，
∴目标函数z=x-2y的最小值是-3． 故选：A．
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．
本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法． 7.【答案】A 【解析】
对应的平面区域如图
本题考查了等差数列的通项公式和求和公式，属于基础题． 3.【答案】A 【解析】
解：①对老师群体而言，首选“微信”与首选“QQ”的比例为：9：1，故对老师而言，更倾向于首选“微信”，即A正确，
②对学生群体而言，首选“微信”与首选“QQ”的比例为：3：2，故对学生而言，更倾向于首选“微信”，即B错误，
③由于老师群体与学生群体人数不定，即首选“微信”的老师比首选“微信”的同学无法比较，即C错误，
④设老师群体x人，学生群体y人，则有0.9x＞0.6y，即3x＞2y，则小明统计的老师人数不一定比学生多，即D错误， 综合①②③④得：A正确， 故选：A．
先识图再结合图象进行简单的合情推理逐一检验即可得解．
本题考查了识图能力及结合图象进行简单的合情推理，属简单题． 4.【答案】B 【解析】
解：∴∴
又0°≤∠BAC≤180°； ∴∠BAC=60°． 故选：B．
，且
=
；
； ；
解：模拟程序的运行，可得 S=2，i=1
此时，由题意应该满足判断框内的条件，执行循环体，S=-3，i=2 满足判断框内的条件，执行循环体，S=-，i=3 满足判断框内的条件，执行循环体，S=，i=4
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此时，由题意，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为．
可得判断框内的条件为：i＜4？ 故选：A．
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 8.【答案】B 【解析】
解：各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn， 由于a1=2，则：
=2?
-1， ，
整理得：（Sn-an+1）（Sn+2an+1）=0． 数列{an}的各项均为正数， 故：Sn+2an+1＞0， 所以：Sn=an+1， 整理得：所以：
， ，
解：如图，设OQ=x，x＞0，则OA=OB=2x， 在底面正三角形BCD中，求得BQ=， 在直角三角形BQO中，4x-x=3，
得x=1，
∴球O的半径为2， 故选：B．
利用球心O为三等分点设未知数，在直角三角形BQO中列方程求解，可得半径．
此题考查了三棱锥外接球，难度较小． 9.【答案】C 【解析】
2
2
则：数列{Sn}是以S1=a1=2为首项，2为公比的等比数列．
所以：， 所以：． 故选：B．
首项利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用通项公式的应用求出结果． 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题型． 11.【答案】D 【解析】
解：设切点为（m，n），
函数f（x）=lnx-a的导数为f′（x）=则切线的斜率为k=lnm-a=km-1， 解得a=lnm， 则k+a=lnm+
， ， =
， （m＞0），
，
解：因为当0＜θ＜时，cosθ-sinθ＜cosθ＜sinθ＜θ+cosθ，
设g（m）=lnm+g′（m）=
-
sinθ，
由“田忌赛马”事例可得：我方必胜的排序是c，b，a， 故选：D．
由三角函数值得大小的比较得：当0＜θ＜
时，cosθ-sinθ＜cosθ＜sinθ＜θ+cosθ，
当m＞1时，g（m）递增； 当0＜m＜1时，g（m）递减．
则g（1）取得极小值，且为最小值0+1=1． 故选：C．
设切点为（m，n），求出f（x）的导数，可得切线的斜率，求得k+b=lnm+，求得导数，以及单调区间，可得极值和最值．
本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查运算能力，属于中档题． 10.【答案】B 【解析】
sinθ，
结合“田忌赛马”事例进行简单的合情推理得：我方必胜的排序是c，b，a，得解． 本题考查了三角函数值得大小的比较及进行简单的合情推理，属中档题． 12.【答案】B 【解析】
，设g（m）=lnm+解：抛物线的焦点坐标为F（0，），准线方程为y=-， 设A（a，
），则B（a，-），
=
，
则BF的斜率k=
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