发布时间 : 星期一 文章高考数学二轮复习 专题二 立体几何 第1讲 空间中的平行与垂直学案更新完毕开始阅读
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由已知点P是CD中点,点Q是A1B1中点可以证得, 四边形AQB1R,PRB1C1都为平行四边形, 所以AQ∥B1R,B1R∥PC1,所以AQ∥PC1, 因为AQ?平面PBC1,PC1?平面PBC1, 所以AQ∥平面PBC1.
(2)因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1为长方体,BC=CC1, 所以B1C⊥BC1,
因为A1B1⊥平面BB1C1C,BC1?平面BB1C1C, 所以A1B1⊥BC1,
因为A1B1∩B1C=B1,A1B1?平面A1B1C,B1C?平面A1B1C, 所以BC1⊥平面A1B1C,
又因为BC1?平面PBC1,所以平面A1B1C⊥平面PBC1.
思维升华 证明面面平行或面面垂直的关键是寻找线面平行或线面垂直,充分体现了转化与化归思想.
跟踪演练3 如图,在四面体ABCD中,AD=BD,∠ABC=90°,点E,F分别为棱AB,
AC上的点,点G为棱AD的中点,且平面EFG∥平面BCD.
(1)求EFBC的值;
(2)求证:平面EFD⊥平面ABC.
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(1)解 因为平面EFG∥平面BCD,平面ABD∩平面EFG=EG,平面ABD∩平面BCD=BD, 所以EG∥BD,
又G为AD的中点,所以E为AB的中点, 1同理可得,F为AC的中点,所以=.
BC2(2)证明 因为AD=BD,
由(1)知,E为AB的中点,所以AB⊥DE, 又∠ABC=90°,即AB⊥BC, 由(1)知,EF∥BC,所以AB⊥EF, 又DE∩EF=E,DE,EF?平面EFD, 所以AB⊥平面EFD,
又AB?平面ABC,所以平面EFD⊥平面ABC.
EF
1.(2018·江苏)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1⊥B1C1.
求证:(1)AB∥平面A1B1C; (2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.
证明 (1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB∥A1B1. 因为AB?平面A1B1C,
A1B1?平面A1B1C,
所以AB∥平面A1B1C.
(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中, 四边形ABB1A1为平行四边形.
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又因为AA1=AB,所以四边形ABB1A1为菱形, 因此AB1⊥A1B.
又因为AB1⊥B1C1,BC∥B1C1, 所以AB1⊥BC.
又因为A1B∩BC=B,A1B,BC?平面A1BC, 所以AB1⊥平面A1BC. 因为AB1?平面ABB1A1, 所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.
2.(2018·江苏南京师大附中模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,点E在棱PC上(异于点P,C),平面ABE与棱PD交于点F.
(1)求证:AB∥EF;
(2)若AF⊥EF,求证:平面PAD⊥平面ABCD. 证明 (1)因为四边形ABCD是矩形, 所以AB∥CD.
又AB?平面PDC,CD?平面PDC, 所以AB∥平面PDC,
又因为AB?平面ABE,平面ABE∩平面PDC=EF, 所以AB∥EF.
(2)因为四边形ABCD是矩形,所以AB⊥AD. 因为AF⊥EF,(1)中已证AB∥EF, 所以AB⊥AF, 又AB⊥AD,
由点E在棱PC上(异于点C),所以F点异于点D,
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所以AF∩AD=A,AF,AD?平面PAD, 所以AB⊥平面PAD, 又AB?平面ABCD, 所以平面PAD⊥平面ABCD.
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