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速率仍可近似看作是 u，这样，排出气体的总角动量大简化.
??u?ωr?dm?mur.经上述处理后，可使问题大
m解 取飞船和喷出的气体为系统，根据角动量守恒定律，有
Jω?mur?0 (1)
因喷气的流量恒定，故有
m?2Qt (2)
由式(1)、(2)可得喷气的喷射时间为
t?Jω?2.67s
2Qur
题 4-20 图
4 －21 如图所示，长为l、质量为m的均质杆，可绕点O在竖直平面内转动，令杆至水平位置由静止摆
下，在竖直位置与质量为
m的物体发生完全非弹性碰撞，碰撞后物体沿摩擦因数为?的水平面滑动，试2求此物体滑过的距离s.
分析 本题可分为三个过程，即细杆绕点O的转动过程，细杆与物体的完全非弹性碰撞以及碰撞后物体在粗糙水平面上的滑动过程。注意前两个过程，只能运用刚体定轴转动所满足的力学规律.其中，第一个过程满足机械能守恒，如以细杆摆至垂直位置时细杆质心为势能零点，则细杆在水平位置的势能应为
mgl1212(而不是mgl),摆至垂直位置时细杆的动能为J?(而不是mv)；第二个过程细杆和物体222对点O的角动量守恒（而不是动量守恒，想一想为什么？），此外对完全非弹性碰撞，碰撞后瞬间满足
v???l,??为碰撞后细杆的角速度，v为碰撞后物体的速度.
解 由分析知，有
转动过程 mgl12?J? 22m2vl)2l
碰撞过程 J??(J?
滑动过程 ?m1mg?s?0?()v2 222将J1?ml2代入以上三式，解得物体滑过的距离为 3s?6l25?
讨论 碰撞时作用在细杆-物体系统的外力均通过点O，外力矩为零，故系统对点O的角动量守恒，但此时转轴的点O处会产生水平方向的轴力分量，使合外力并不为零，故系统动量并不守恒，这是初学者容易犯的一种错误.
题 4-21 图
4 －25 我国1970年4月24日发射的第一颗人造卫星，其近地点为4.39 ×105 m，远地点为2.38 ×106 m.试计算卫星在近地点和远地点的速率.(设地球半径为6.38×106 m)
分析 当人造卫星在绕地球的椭圆轨道上运行时，只受到有心力———万有引力的作用.因此，卫星在运行过程中角动量是守恒的，同时该力对地球和卫星组成的系统而言，又是属于保守内力，因此，系统又满足机械能守恒定律.根据上述两条守恒定律可求出卫星在近地点和远地点时的速率.
解 由于卫星在近地点和远地点处的速度方向与椭圆径矢垂直，因此，由角动量守恒定律有
mr1v1?mr2v2 (1)
又因卫星与地球系统的机械能守恒，故有
12GmmE12GmmEmv1??mv2?2r12r2 (2)
式中G 为引力常量，mＥ 和m 分别为地球和卫星的质量，r1 和r2 是卫星在近地点和远地点时离地球中心的距离.由式(1)、(2)可解得卫星在近地点和远地点的速率分别为
v1?GmEr2?8.11?103m?s?1
r1?r1?r2?v2?r1v1?6.31?103m?s?1 r2
4 －27 如图所示，一质量为m 的小球由一绳索系着，以角速度ω0 在无摩擦的水平面上，作半径为r0 的圆周运动.如果在绳的另一端作用一竖直向下的拉力，使小球作半径为r0/2 的圆周运动.试求：(1) 小球新的角速度；(2) 拉力所作的功.
题 4-27 图
分析 沿轴向的拉力对小球不产生力矩，因此，小球在水平面上转动的过程中不受外力矩作用，其角动量应保持不变.但是，外力改变了小球圆周运动的半径，也改变了小球的转动惯量，从而改变了小球的角速度.至于拉力所作的功，可根据动能定理由小球动能的变化得到. 解 (1) 根据分析，小球在转动的过程中，角动量保持守恒，故有
J0ω0?J1ω1
式中J0 和J1 分别是小球在半径为r０ 和1/2 r０ 时对轴的转动惯量，即J0?mr02和J1?12mr0，则 4ω?J1ω0?4ω0 J0(2) 随着小球转动角速度的增加，其转动动能也增加，这正是拉力作功的结果.由转动的动能定理可得拉力的功为
W?11322 J1ω12?J0ω0?mr02ω0222 第十五章
15－4 一飞船的固有长度为L，相对于地面以速度v1 作匀速直线运动，从飞船中的后端向飞船中的前端的一个靶子发射一颗相对于飞船的速度为v2 的子弹.在飞船上测得子弹从射出到击中靶的时间间隔是( ) (c 表示真空中光速)
(A)
Lv1?v2 (B)
Lv2-v1 (C)
Lv2L (D)
v11??v1/c?2
分析与解 固有长度是指相对测量对象静止的观察者所测，则题中L、v2 以及所求时间间隔均为同一参考系(此处指飞船)中的三个相关物理量，求解时与相对论的时空观无关.故选(C).
15－11 设在宇航飞船中的观察者测得脱离它而去的航天器相对它的速度为1.2×108m·ｓ-1 i.同时，航天器发射一枚空间火箭，航天器中的观察者测得此火箭相对它的速度为1.0×108m·ｓ-1 i.问：(1) 此火箭相对宇航飞船的速度为多少？ (2) 如果以激光光束来替代空间火箭，此激光光束相对宇航飞船的速度又为多少？ 请将上述结果与伽利略速度变换所得结果相比较，并理解光速是运动体的极限速度.
解 该题仍是相对论速度变换问题. 设宇航飞船为Ｓ系， 航天器为Ｓ′系， 则Ｓ′系相对Ｓ系的速度v＝1.2 ×108m·ｓ1 ，空间火箭相对航天器的速度为u′x＝1.0×108m·ｓ1，激光束相对航天器的速度为光速c. 由洛伦兹变换可得：
(1) 空间火箭相对Ｓ 系的速度为
－
－
ux?u?x?v?1.94?108m?s-1
v1?2u?xc(2) 激光束相对Ｓ 系的速度为
ux?c?v?c v1?2cc即激光束相对宇航飞船的速度仍为光速c，这是光速不变原理所预料的.如用伽利略变换，则有ux＝c＋v ＞c.这表明对伽利略变换而言，运动物体没有极限速度，但对相对论的洛伦兹变换来说，光速是运动物体的极限速度.