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第二章
2 -8 如图(a)所示,已知两物体A、B 的质量均为m＝3.0kg 物体A 以加速度a ＝1.0 m·ｓ-2 运动,求物体B 与桌面间的摩擦力．(滑轮与连接绳的质量不计)
分析 该题为连接体问题,同样可用隔离体法求解．分析时应注意到绳中张力大小处处相等是有条件的,即必须在绳的质量和伸长可忽略、滑轮与绳之间的摩擦不计的前提下成立．同时也要注意到张力方向是不同的．
解 分别对物体和滑轮作受力分析［图(b)］．由牛顿定律分别对物体A、B 及滑轮列动力学方程,有
mA g -FＴ ＝mA a (1) F′Ｔ1 -Fｆ ＝mB a′ (2) F′Ｔ -2FＴ1 ＝0 (3)
考虑到mA ＝mB ＝m, FＴ ＝F′Ｔ , FＴ1 ＝F′Ｔ1 ,a′＝2a,可联立解得物体与桌面的摩擦力
Ff?mg??m?4m?a?7.2N
2
题 2-8 图
讨论 动力学问题的一般解题步骤可分为：(1) 分析题意,确定研究对象,分析受力,选定坐标；(2) 根据物理的定理和定律列出原始方程组；(3) 解方程组,得出文字结果；(4) 核对量纲,再代入数据,计算出结果来．
2 -13 一质量为10 kg 的质点在力F 的作用下沿x 轴作直线运动,已知F ＝120t ＋40,式中F 的单位为N, t的单位的ｓ．在t＝0时,质点位于x ＝5.0 m处,其速度v0＝6.0 m·s?1．求质点在任意时刻的速度和位置．
分析 这是在变力作用下的动力学问题．由于力是时间的函数,而加速度a＝dv/dt,这时,动力学方程就成为速度对时间的一阶微分方程,解此微分方程可得质点的速度v (t)；由速度的定义v＝dx /dt,用积分的方法可求出质点的位置．
解 因加速度a＝dv/dt,在直线运动中,根据牛顿运动定律有
120t?40?mdv dt依据质点运动的初始条件,即t0 ＝0 时v0 ＝6.0 m·ｓ-1 ,运用分离变量法对上式积分,得
?vv0dv???12.0t?4.0?dt
0tv＝6.0+4.0t+6.0t2
又因v＝dx /dt,并由质点运动的初始条件：t0 ＝0 时 x0 ＝5.0 m,对上式分离变量后积分,有
?
xx0dx???6.0?4.0t?6.0t2?dt
t0x ＝5.0+6.0t+2.0t2 +2.0t3
2 -15 质量为m 的跳水运动员,从10.0 m 高台上由静止跳下落入水中．高台距水面距离为h．把跳水运动员视为质点,并略去空气阻力．运动员入水后垂直下沉,水对其阻力为bv2 ,其中b 为一常量．若以水面上一点为坐标原点O,竖直向下为Oy 轴,求：(1) 运动员在水中的速率v与y 的函数关系；(2) 如b /m ＝0.40m -1 ,跳水运动员在水中下沉多少距离才能使其速率v减少到落水速率v0 的1/10？ (假定跳水运动员在水中的浮力与所受的重力大小恰好相等)
题 2-15 图
分析 该题可以分为两个过程,入水前是自由落体运动,入水后,物体受重力P、浮力F 和水的阻力Ff的作用,其合力是一变力,因此,物体作变加速运动．虽然物体的受力分析比较简单,但是,由于变力是速度的函数(在有些问题中变力是时间、位置的函数),对这类问题列出动力学方程并不复杂,但要从它计算出物体运动的位置和速度就比较困难了．通常需要采用积分的方法去解所列出的微分方程．这也成了解题过程中的难点．在解方程的过程中,特别需要注意到积分变量的统一和初始条件的确定．
解 (1) 运动员入水前可视为自由落体运动,故入水时的速度为
v0?2gh
运动员入水后,由牛顿定律得
P -Ff -F ＝ma
由题意P ＝F、Ff＝bv2 ,而a ＝dv /dt ＝v (d v /dy),代 入上式后得
-bv2＝ mv (d v /dy)
考虑到初始条件y0 ＝0 时,
v0?2gh,对上式积分,有
vdv?m???dy?? ?0?v0vb??tv?v0e?by/m?2ghe?by/m
(2) 将已知条件b/m ＝0.4 m-1 ,v ＝0.1v0 代入上式,则得
y??
mvln?5.76m bv0 第三章
3 -8 Fx ＝30＋4t(式中Fx 的单位为N,t 的单位为s)的合外力作用在质量m＝10 kg 的物体上,试求：(1) 在开始2ｓ 内此力的冲量；(2) 若冲量I ＝300 N·s,此力作用的时间；(3) 若物体的初速度v1 ＝10 m·s-1 ,方向与Fx相同,在t＝6.86 s时,此物体的速度v2 ．
分析 本题可由冲量的定义式I解 (1) 由分析知
2I??0?30?4t?dt?30t?2t20?68N?s
2t21??tFdt,求变力的冲量,继而根据动量定理求物体的速度v2．
(2) 由I ＝300 ＝30t ＋2t2 ,解此方程可得
t ＝6.86 s(另一解不合题意已舍去)
(3) 由动量定理,有
I ＝m v2- m v1
由(2)可知t ＝6.86 s 时I ＝300 N·s ,将I、m 及v1代入可得
v2?I?mv1?40m?s?1 m3 -9 高空作业时系安全带是非常必要的．假如一质量为51.0 kg 的人,在操作时不慎从高空竖直跌落下来,由于安全带的保护,最终使他被悬挂起来．已知此时人离原处的距离为2.0 m ,安全带弹性缓冲作用时间为0.50 s ．求安全带对人的平均冲力．
分析 从人受力的情况来看,可分两个阶段：在开始下落的过程中,只受重力作用,人体可看成是作自由落体运动；在安全带保护的缓冲过程中,则人体同时受重力和安全带冲力的作用,其合力是一变力,且作用时间很短．为求安全带的冲力,可以从缓冲时间内,人体运动状态(动量)的改变来分析,即运用动量定理来讨论．事实上,动量定理也可应用于整个过程．但是,这时必须分清重力和安全带冲力作用的时间是不同的；而在过程的初态和末态,人体的速度均为零．这样,运用动量定理仍可得到相同的结果．
解 以人为研究对象,按分析中的两个阶段进行讨论．在自由落体运动过程中,人跌落至2 m 处时的速度为
v1?2gh (1)
在缓冲过程中,人受重力和安全带冲力的作用,根据动量定理,有
?F?P?Δt?mv2?mv1 (2)
由式(1)、(2)可得安全带对人的平均冲力大小为
F?mg???mv?Δt?mg?m2gh?1.14?103N
Δt解2 从整个过程来讨论．根据动量定理有
(F?mg)?t?mg2h/g?0
F?3 -11 一只质量m1mg2h/g?mg?1.14?103N Δt?0.11kg的垒球以v1?17m?s?1水平速率扔向打击手，球经球棒击出后，
具有如图（a）所示的速度且大小v2?34m?s?1，若球与棒的接触时间为0.025 s,求：（1）棒对该球平
均作用力的大小；（2）垒球手至少对球作了多少功？
分析 第（1）问可对垒球运用动量定理，既可根据动量定理的矢量式，用几何法求解，如图（b）所示；也可建立如图（a）所示的坐标系，用动量定量的分量式求解，对打击、碰撞一类作用时间很短的过程来说，物体的重力一般可略去不计.
题 3-11 图
解 （1） 解 1 由分析知，有
F?t?mv2?mv1
其矢量关系如图（b）所示，则
(F?t)2?(mv1)2?(mv2)2?2(mv1)(mv2)cos(180??60?)
解之得
解 2 由图（a）有
F?197.9N
Fx?t?mv2x?mv1x Fy?t?mv2y?0
将v1x?v,v2x??v2cos60?及v2y?v2sin60?代入解得Fx和Fy，则
F?Fx?Fy?197.9N
(2) 由质点动能定理，得
221212W?mv2?mv1?47.7J
223 -21 用铁锤把钉子敲入墙面木板．设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比．若第一次敲击,能把钉子钉入木板1.00 ×10 -2 m．第二次敲击时,保持第一次敲击钉子的速度,那么第二次能把钉子钉入多深？
分析 由于两次锤击的条件相同,锤击后钉子获得的速度也相同,所具有的初动能也相同．钉子钉入木板是将钉子的动能用于克服阻力作功,由功能原理可知钉子两次所作的功相等．由于阻力与进入木板的深度成正比,按变力的功的定义得两次功的表达式,并由功相等的关系即可求解．
解 因阻力与深度成正比,则有F＝kx(k 为阻力系数)．现令x0＝1.00 ×10 -2 m,第二次钉入的深度为Δx,由