发布时间 : 星期一 文章2018版高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数二导学案新人教A版必修4更新完毕开始阅读
1.2.1 任意角的三角函数(二)
学习目标 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义,能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.
知识点一 三角函数的定义域
π
思考 正切函数y=tan x为什么规定x∈R且x≠kπ+,k∈Z?
2
π
答案 当x=kπ+,k∈Z时,角x的终边在y轴上,此时任取终边上一点P(0,yP),因
2为无意义,因而x的正切值不存在.所以对正切函数y=tan x,必须要求x∈R且x≠kπ+0π
,k∈Z. 2
梳理 正弦函数y=sin x的定义域是R;余弦函数y=cos x的定义域是R;正切函数y=tan
yPx的定义域是{x|x∈R且x≠kπ+,k∈Z}.
知识点二 三角函数线
思考1 在平面直角坐标系中,任意角α的终边与单位圆交于点P,过点P作PM⊥x轴,过点A(1,0)作单位圆的切线,交α的终边或其反向延长线于点T,如图所示,结合三角函数的定义,你能得到sin α,cos α,tan α与MP,OM,AT的关系吗?
π
2
答案 sin α=MP,cos α=OM,tan α=AT. 思考2 三角函数线的方向是如何规定的?
答案 方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值,反之,为负值. 思考3 三角函数线的长度和方向各表示什么?
答案 长度等于三角函数值的绝对值,方向表示三角函数值的正负. 梳理
图示 正弦线 角α的终边与单位圆交于点P,过点P作PM垂直于x轴,有向线段MP即为正弦线 余弦线 有向线段OM即为余弦线 正切线
过点A(1,0)作单位圆的切线,这条切线必然平行于y轴,设它与α的终边或其反向延长线相交于点T,有向线段AT即为正切线
类型一 三角函数线
5π
例1 作出-的正弦线、余弦线和正切线.
8解 如图所示,
?5π?sin?-?=MP, ?8??5π?cos?-?=OM, ?8??5π?tan?-?=AT. ?8?
反思与感悟 (1)作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作
x轴的垂线,得到垂足,从而得到正弦线和余弦线.
(2)作正切线时,应从点A(1,0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T,即
可得到正切线AT.
1
跟踪训练1 在单位圆中画出满足sin α=的角α的终边,并求角α的取值集合.
211?1?解 已知角α的正弦值,可知MP=,则P点纵坐标为.所以在y轴上取点?0,?,过这点22?2?作x轴的平行线,交单位圆于P1,P2两点,则OP1,OP2是角α的终边,因而角α的取值集π5π
合为{α|α=2kπ+或α=2kπ+,k∈Z}.
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类型二 利用三角函数线比较大小
2π4π2π4π2π4π
例2 利用三角函数线比较sin和sin,cos和cos,tan和tan的大小.
3535352π2π2π4π4π4π
解 如图,sin=MP,cos=OM,tan=AT,sin=M′P′,cos=OM′,tan
333555=AT′.
显然|MP|>|M′P′|,符号皆正, 2π4π
∴sin>sin;
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2π4π|OM|<|OM′|,符号皆负,∴cos>cos;
352π4π
|AT|>|AT′|,符号皆负,∴tan 反思与感悟 利用三角函数线比较三角函数值的大小时,一般分三步:(1)角的位置要“对号入座”;(2)比较三角函数线的长度;(3)确定有向线段的正负. 跟踪训练2 比较sin 1 155°与sin(-1 654°)的大小. 解 sin 1 155°=sin(3×360°+75°)=sin 75°, sin(-1 654°)=sin(-5×360°+146°)=sin 146°. 如图,在单位圆中,分别作出sin 75°和sin 146°的正弦线M1P1,M2P2. ∵M1P1>M2P2,且符号皆正, ∴sin 1 155°>sin(-1 654°). 类型三 利用三角函数线解不等式(组) 命题角度1 利用三角函数线解不等式?组? 例3 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合. (1)sin α≥31; (2)cos α≤-. 22 3 交单位圆于A,B两点,连接OA,OB,则OA与OB围成的区域(如图(1)2 解 (1)作直线y= 所示的阴影部分,包括边界),即为角α的终边的范围. π2π 故满足要求的角α的集合为{α|2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z}. 33 1 (2)作直线x=-交单位圆于C,D两点,连接OC与OD,则OC与OD围成的区域(如图(2)所 2示的阴影部分,包括边界),即为角α的终边的范围. 2π4π 故满足条件的角α的集合为{α|2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z}. 33 反思与感悟 用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式,应注意以下两点: (1)先找到“正值”区间,即0~2π内满足条件的角θ的范围,然后再加上周期; (2)注意区间是开区间还是闭区间. 13 跟踪训练3 已知-≤cos θ<,利用单位圆中的三角函数线,确定角θ的取值范围. 22解 图中阴影部分就是满足条件的角θ的范围,即 2ππ2 {θ|2kπ-π≤θ<2kπ-或2kπ+<θ≤2kπ+π,k∈Z}. 3663命题角度2 利用三角函数线求三角函数的定义域 例4 求下列函数的定义域.