发布时间 : 星期日 文章高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2组合第2课时组合的综合应用讲义新人教A版选修2_3更新完毕开始阅读
第2课时组合的综合应用
知识点排列与组合的联系和区别 排列与组合的共同点都是“从
n个不同元素中，任取 m个元素”，如果交换两个元素的
位置对结果产生影响，就是口 01排列问题；反之，如果交换两个元素的位置对结果没有影响, 就是□组合问题?简而言之，口 03排列问题与顺序有关，□ 04组合问题与顺序无关.
知识点解排列组合综合题的思路
解决该问题的一般思路是先选后排，先口 01组合后摩排列，解题时应灵活运用口 03分类加法 计数原理和匚04分步乘法计数原理?分类时，注意各类中是否分步，分步时注意各步中是否分 类.
利用组合知识解决与几何有关的问题，要注意：
(1) 将已知条件中的元素的特征搞清，是用直接法还是间接法；
(2) 要使用分类方法，至于怎样确定分类的标准，这是一个难点，要具体问题具体分析; (3) 常用间接法解决该类问题.
1 ?判一判(正确的打错误的打“x”) (1) 3个相同的小球放入 题.(
5个不同的盒子中，每盒至多放一个球，这个问题是排列问
)
5个不同的盒子中，每盒至多放一个球，这个问题是组合问
(2) 3个不同的小球放入 题.(
)
(3) 将9本不同的书分成三堆是平均分组问题.
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答案 ⑴X (2) X (3) V 2 ．做一做
(1) 4 种不同的种子，选出 3块不同的土地， 每一块地只能种一种， 则不同的种法有 ________ 种．
(2) 从 3 名女生、 4 名男生中选 4 人担任奥运会志愿者，若选出的 4 人中既有男生又有女 生，则不同的选法共有 _________ 种．
(3) 将 6 名教师分到 3 所中学任教，一所 1 名，一所 2 名，一所 3 名，则有 __________ 种不 同的分法．
答案 (1)24
(2)34
(3)360
33
解析(1)C4A = 24(种). (2) C4 — C4 = 34(种). (3) C 6C5C3A3= 360(种).
探究 1 有限制条件的组合问题
例 1 男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男女队长各 1 名，选派 5 人外出比赛，在下列 情形中各有多少种选派方法？
(1) 男运动员 3 名，女运动员 2 名； (2) 至少有 1 名女运动员； (3) 既要有队长，又要有女运动员.
［解］(1)第一步：选3名男运动员，有 C3种选法；第二步：选 2名女运动员，有 &种选 法，故共有C3?C = 120种选法.
(2) 解法一： ( 直接法 ) “至少有 1 名女运动员”包括以下几种情况， 1 女 4 男， 2 女 3 男， 3女2男， 4女1男.
由分类加法计数原理知共有 d?C+ C4?C+ CTC+C4?C= 246种选法.
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解法二：（间接法）不考虑条件，从10人中任选5人，有C；。种选法，其中全是男运动员的 选法有C5种，故“至少有1名女运动员”的选法有 C?0- d= 246（种）.
（3）当有女队长时，其他人选法任意，共有 C9种选法；不选女队长时，必选男队长，共有 C4种选法，其中不含女运动员的选法有 C5种，故不选女队长时共有 C8- C种选法?所以既有队 长又有女运动员的选法共有 C9+ C!-C4= 191（种）.
拓展提升
解答有限制条件的组合问题的基本方法是“直接法”和“间接法
（排除法）”，其中用直
接法求解时， 应依据“特殊元素优先安排”的原则， 即优先安排特殊元素， 再安排其他元素. 而 选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大时， 不妨从反面问题入手，试一试看是否简单些，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更 是如此.此时正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这 些组合问题的关键.
［跟踪训练 1］ 有 11 名外语翻译人员，其中 5名是英语译员， 4名是日语译员，另外两名 英、日都精通，从中找出 8
人，使他们可以组成两个翻译小组，其中 4人翻译英语， 4人翻译日语，这两个小组能同 时工作，问这样的 8 人名单共可开出几张？
解 解法一：按“英、日都会的人”的参与情况，可分为三类： 第一类，“英日都会”的人不参加，有
66种；
第二类，“英日都会”的人有 1 人参加，该人可参加英语，也可参加日语，共有 C44＋ 6cfc4 种；
第三类，“英日都会”的均参加共有
C3C4A2+ de4+ C5C4种.
C21C53
由分类加法原理可得共有 Ck4+ CGC： + GUck &嵌+広匕+ C5C4= 185种. 解法二：按“英日都会”的人参加英语翻译的人数可分为三类. 第一类，“英日都会”的人不参加英语翻译，有
c5C种；
c2c3C5种；
第二类，“英日都会”的人恰有一人参与英语翻译，共有 第三类，“英日都会”的人全部参与英语翻译共有
C5C4种.
由分类加法原理可得共有 c5c6+ C2C5C5 + c5c4= 185种. 探究 2 与几何有关的组合问题
例2如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于 A, B的六个点C, C2, C3, G, C5, C6, 直径
AB上有异于代B的四个点D, D2, D3, d
问：（1）以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作多少个？其中含
C点的有多少个？
（2）以图中的12个点（包括 代B）中的4个为顶点，可作出多少个四边形？
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［解］（1）C：+ C6 ?C+ C6 116（个）. 其中以 C1 为顶点的三角形有 C5+ d
4
4+ C4= 36(个).
(2) c + C6 ?c6 + C6 ?c6 = 360(个).
拓展提升
(1) 解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问 题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理.
(2) 图形多少的问题通常是组合问题， 要注意共点、 共线、共面、异面等情形， 防止多算. 常 用直接法，也可采用排除法.
(3) 在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构造模型，明 确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决.
［跟踪训练2］ (1)四面体的一个顶点为 A,从其他顶点和各棱中点中取 点A在同一平面上，有多少种不同的取法？
(2) 四面体的顶点和各棱中点共 10 个点，在其中取 4 个不共面的点，有多少种不同的取 法. 解(1)(直接法)如图，含顶点 A的四面体的3个面上，除点 A外都有5个点，从中取出 3点必与点
3个点，使它们和
A共面共有3C3种取法；含顶点 A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点
3
共面，共有3种取法.根据分类加法计数原理， 与顶点A共面的三点的取法有 3C5+ 3= 33(种).
(2)(间接法)如图，从10个点中取4个点的取法有 Co种，除去4点共面的取法种数可以 得到结果?从四面体同一个面上的
6个点取出的4点必定共面?有4C6 = 60(种)，四面体的每
一棱上 3点与相对棱中点共面，共有 6种共面情况，从 6条棱的中点中取 4个点时有 3种共 面情形 (对棱中点连线两两相交且互相平分 )，故 4 点不共面的取法为 141( 种) .
探究 3
分组、分配问题
C140－(60+6+3)=
角度 1：不同元素分组、分配问题 例3
6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：
(1) 分给甲、乙、丙三人，每人两本； (2) 分为三份，每份两本；
(3) 分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；
(4) 分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本； (5) 分给甲、乙、丙三人，每人至少一本.
［解］(1)先从6本书中选2本给甲，有C2种选法；再从其余的 4本中选2本给乙，有C2 种选法；最后从余下的 2本书中选2本给丙，有C2种选法；所以分给甲、乙、丙三人，每人 2
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