周期函数性质的证明

红河学院本科毕业论文(设计)

必要性:设T0是f'(x)的最小正周期,?x?R,

x'x由f(x)?f(0)??f(t)dt??f'(t?T0)dt?f(x?T0)?f(T0)

00令f(x?T0)?f(x)?f(T0)?f(0)?c,

x?2T0x?T0f(x?2T0)?f(x?T0)?x?T0?f(t)dt?'?xf'(t)dt?f(x?T0)?f(x)

?f(x?2T0)?f(x)??f(x?2T0)?f(x?T0)???f(x?T0)?f(x)??2c 同理得f(x?nT0)?f(x)?nc,(n?1,2,3,)

如果c?0,即?x0?R,f(x0?nT0)?f(x0)?nc??(n??) 这与f(x)是周期函数,从而有界相矛盾(定理2.4).

?c?0,?f(x?T0)?f(x)?0

故T0是f(x)的一个周期,根据定理3.2,假设它的最小正周期为根据充分性知

T0?T0,从而k?1 kT0(k?N?) k故T0是f(x)的最小正周期.

推论3:由定理3.2及定理3.3,如果f(x)是实数集上一非常数连续周期函数,且有连续的导函数,则T是f(x)的周期当且仅当T是f'(x)的周期.

例2:证明sinx2不是周期函数.

证明:令f(x)?sinx2,显然它在R上连续可导,且不为常数函数.如果f(x)是周期函数,则f'(x)?2xcosx2也是周期函数.取xn?2n?,f'(xn)??(n??),这与实数集上连续周期函数有界矛盾.

9

第四章 小结

第四章 小结

本文证明了周期函数存在最小正周期的充分条件,得到了非常数周期函数的周期是其最小正周期的整数倍,及它和它导函数的最小正周期相同这两个结论.

10

红河学院本科毕业论文(设计)

参考文献

?1?张崇德.周期函数的最小正周期的几个判定定理.重庆师范学院学报(自然科学

版)1990年9月.

?2?杨曼英.关于周期函数及最小正周期的探讨.娄底师范高等专科学校数学系

2000 -9-30

?3?刘永志.关于原函数性质的两个标记.西南大学学报.1989年3月 ?4?华罗庚.高等数学引论第一卷第一分册.科学出版社1979年

11

致谢

11

联系客服:779662525#qq.com(#替换为@)