周期函数性质的证明

红河学院本科毕业论文(设计)

第一章 引言

周期函数是一类较特殊的函数.它主要描述了客观世界中一些具有周期性现象的数量关系.如果一个函数是周期函数,那么对于其形态的研究可带来不少方便.因此研究周期函数是具有一定意义的.我们知道有些周期函数在定义域上存在最小正周期,比如sinx,cosx,tanx,cotx等,但并不是每一个函数都有最小正周期,如常值函数,狄利克雷函数等,所以有必要讨论最小正周期的存在性,引入最小正周期存在的充分条件,并给了详细的证明.存在最小正周期的周期函数和它导函数的最小正周期是否相同,本文利用连分数的相关知识证明了非常数连续周期函数的最小正周期和它导函数的最小正周期周期之间的关系.列举了出个几个例子来判断一个函数是否为周期函数.

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第二章 预备知识

第二章 预备知识

定义2.1如果有一实数T?0,使对任意x?D(指函数的定义域),均有

f(x?T)?f(x),则称f(x)为以T为周期的周期函数.

定义2.2?1?设T是周期函数f(x)的周期,那么对于一切正整数n,?n都是f(x)的周期.从而可知周期函数f(x)必有正周期;周期函数的所有周期的集合是一个上,下方均无界且对称于数轴原点的无穷集合.

定义 2.3 若T1,T2为f(x)的周期,且T1?T2?0,则T1?T2也是f(x)的周期.

给定一个周期函数,总希望找到它的最小正周期,但不是所有周期函数都有最小正周期.

例如:在整个数轴上处处不连续的狄利克雷函数??.

2?1,x?Q D(x)??0,x?Q?以任何非零有理数为周期,又因为有理数中无最小正数,故D(x)无最小正周期.

?3?定义2.4 设f(x)是???,???的连续周期函数,且周期为T,F(x)是它在

???,???上的一个原函数,则F(x)在???,???上有界.

证明:若F(x)在???,???上以G为周期,则F(x)在?0,G?上连续,从而存在最大值和最小值,分别设为m1,m2,令M?max?m1,m2?,则有

F(x)?M(???x???),即F(x)有界. 2.5??,关于连分数的一些结果.

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命?表一正实数,a0是它的整数部分,又命??a0?11?1,则?1也是正实数,而且

大于1,在命a1是?1的整数部分及?1?a1?1?2,如此下去,命an?1为?n?1的整数分,

而?n?1?an?1??n,如此就就得到一个分数:

??a0?a1?a2?111an?1?1

?n记为??a0,a1,an?1,?n??

经过计算得到?a0??普通命?a0,a1a0a?a?1a?a?a?a?a,?a0,a1??10,?a0,a1,a2??210201a2?a1?1a1

,an?1,an??pn,成为?的第n个渐进分数或渐进值. qn定理2.5.1:渐进分数的分子与分母有如下关系:

p0?a0,p1?a1?a0?1………pn?anpn?1?pn?2

q0?1,q1?a1 ………… qn?anqn?1?qn?2

证明:用归纳法.当n?2时,上面的结论显然正确.假定已知n?m时,以上结论成立.

pm?1??a0,a1qm?1?,am,am?1???a0,a1,?111?am?1,am??

am?1??1?a??m?pm?1?pm?2am?1??? ?1??am??qm?1?qm?2am?1??ampm?1?pm?2??am?1am?1ap?pm?1??m?1m立,可得证.

11aq?qm?1mm?1amqm?1?qm?2?qm?1qm?qm?1am?1am?1pm?1pm?pm?1

故当n?m?1时也成立,可得证.

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第二章 预备知识

定理2.5.2:

pn与qn还适合以下的公式:

pnqn?1?pn?1qn???1?n?1 (1)

pnqn?2?pn?2qn?(?1)nan (2)

证明:当n?1时(1)显然成立,现在用归纳法,由定理2.5.1知

pnqn?1?pn?1qn??anpn?1?pn?2?qn?1??anqn?1?qn?2?pn?1?pn?2qn?1?qn?2pn?1

?(?1)??pn?1qn?2?pn?2qn?1??(?1)?(?1)n?2?(?1)n?1

故(1)成立

又由定理2.5.2知

pnqn?2?pn?2qn??anpn?1?pn?2?qn?2??anqn?1?qn?2?pn?2?an(pn?1qn?2?qn?1pn?2)?(?1)nan及为(2)式

定理2.5.3

??

pn11??2 qnqnqn?1qn?证明:我们有???a0,a1,?

?n?1pn?pn?11?,,(?n?1?an?1?1) ??an?1,an??q?q?n?1?n?1nn?1???

(?p?pn?1)qn?pn(?n?1qn?qn?1)pn111?n?1n???2 qn(?n?1qn?qn?1)qn(an?1qn?qn?1)qnqnqn?1qn4

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