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习 题 5
5-2．如习题5-2图所示的直角三角形ABC的A点上有电荷q1=×10C，B点上有C，试求C点的电场强度（设BC=0.04m，AC=0.03m）。
?94.8?10解：设CB为x轴，AC为y轴，则E??2.7?104N/C，x24??0?0.04?9
A
电荷q2=×10
?9
C B
习题5-2图
的夹角为
Ey?1.8?10224?1.8?104N/C，E?Ex?Ey?3.2?10N/C，电场方向和CB24??0?0.03EyEx?33.7?
?9??arctan5-3．用绝缘细线弯成的半圆环，半径为R，其上均匀地带有正电荷Q，试求圆心处的电场强度。 [解] 将半圆环分成无穷多小段，取一小段dl，带电量dq?Qdl ?RQdldq?R?dq在O点的电场强度dE? 224??0R4??0R从对称性分析，y方向的电场强度相互抵消，只存在x方向的电场强度 yd??xdEdEx?dE?sin??Q4??0R23sin??dl dl?Rd?
dEx?Qsin?d?
4?2?0R2?E?Ex??dEx??0Qsin?Qd??4?2?0R22?2?0R2 方向沿x轴正方向
5-4．如习题5-4图所示，真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电量为
q，试求在直杆延长线上到杆的一端距离为d的点P的电场强度。
[解] 建立如图所示坐标系ox，在带电直导线上距O点为x处取电荷
L q d P ? x 元
qdq?dx，它在P点产生的电电场强度度为
LL2习题5-4图 dPxdE?1dq24??0?L?d?x??1qL4??0?L?d?x?dx
0dx则整个带电直导线在P点产生的电电场强度度为
E??L1qL04??0?L?d?x?2qi4??0d?L?d?dx?q
4??0d?L?d?1故E?
5-5．一厚度为d的“无限大”均匀带电平板，电荷体密度为ρ。求板内外的电场分布，并画出电场强度随坐标x变化的图线（设原点在带电平板的中央平面上，Ox轴垂直于平板）。
解：做底面平行带电平板、侧面垂直于带电平板的圆柱状高斯面，高斯面的中心位于带电平板的中央平面上。设圆柱状高斯面的高度为2x， 根据高斯定理，有：
ddS?x?-d/2?-?d/(2?0)时，2ES??2?0，得
E???x/?0?d/2?x?d/2
d2xS???d/(2?)x?d/2x?时，2ES?0?2?0x?5-6．一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为?=Ar (r≤R)，?=0 (r>R)，A为常量。试求球内、外的场强分布。 [解] 在带电球体内外分别做与之同心的高斯球面。 应用高斯定理有E?4?r2?q?
0q为高斯球面内所包围的电量。设距球心r处厚度为dr的薄球壳所带电量为dq
dq???4?r2dr?4?Ar3dr
r≤R时 q??r04?Ar3dr??Ar4
Ar2解得 E?4? (r≤R) (或E?Ar2er) 04?0r>R时高斯面内包围的是带电体的总电量Q
Q??Rdq??R004?Ar3dr??AR4
应用高斯定理E?4?r2?Q?
0E?AR4AR44?2 (r>R) (或E?r) 0r4?0r2当A>0时，电场强度方向均径向向外；当A<0时，电场强度方向均指向球心。 5-7. 如习题5-7图所示，一半径为R的无限长圆柱面形薄筒，均匀带电，单位长度为?，试求圆柱面内外的电场分布。
解：由条件知电场分布具有轴对称性，做半径为r的同轴圆柱高斯面，由高斯定理，
习题5-7图
r?R时,E?2πrl?0?0,r?RA BR时,E?2πrl??l，得E?????,r?R
r?0??2??0r5-8．如习题5-8图所示，A、B为真空中两个平行的“无限大”均知两平面间的电场强度为E0，两平面外侧电场强度大小都是E0/3，方向A、B上的面电荷密度?A和?B。
E0/3 E0 E0/3
[解] 无限大平面产生的电场强度为E??2?
习题5-8图
0则 EA??A2? E?B?B AB02?0E0/3E0E0/3上的带电量
匀带电平面，已如图。求两平面
??B?A??E0??2?02?0 ??E??B?A?0?3?2?02?024解得 ?A???0E0 ?B??0E0
33 5-9．如习题5-9图所示为一真空中半径为R的均匀带电球面，总电量为球面上挖去非常小的一块面积△S（连同电荷），且假设不影响原来的电荷分布，球心处电场强度的大小和方向。
解：原来球心处电场强度为零，挖去△S后球心处电场强度等于△S处电荷度的负值，即等于
O 产生的电场强
习题5-9图
电，带电量分别
O1 ? +Q △S
q(q<0)。今在
求挖去△S后
R q?Sq?S，方向由△S指向球心。
?4??0R24?R216?2?0R4R 15-10．习题5-10图为两个半径均为R的非导体球壳，表面上均匀带为+Q和-Q，两球心距离为d(d>>2R)，求两球心间的电势差。 [解] 设带正电的球壳中心的电势为U1，带负电的为U2。
根据电势叠加原理有
-Q O2 ? R d 习题5-10图
?QQ U2? U1???4??0R4??0d4??0R4??0d两球心间的电势差
QQU12?U1?U2?Q2??0R?Q2??0d?Q?11????2??0?Rd?
R1 面半径为R1，
O 5-11. 如习题5-11图所示为一均匀带电的球壳，其电荷体密度为ρ，球壳内表球壳外表面半径为R2。设无穷远处电势为零，求空腔内任一点的电势。
解：利用电势叠加法，将球壳分成无穷多个半径为r，厚度为dr的薄球壳，有
R2 U??dU??R1R2R2dQ4??0rR1??R2R1?4?r2dr?2?(R2?R12)
4??0r2?0习题5-11图 的点P的电势
5-12．电量q均匀分布在长为2l的细杆上，求在杆外延长线上与杆端距离为a(以无穷远为电势零点)。
[解] 取如图所示的电荷元dq，dq?qdx，它在P点产生的电势为 2ldqqdx du??4??0?2l?a?x?8??0l?2l?a?x?1则整个带电直线在P点产生的电势为
xOdxdqPxU??qdx?8??0l?2l?a?x?8??0lq?02lqdx2l?a ?ln2l?a?x8??0la+Q
A B 正电荷Q的金求B板两个表大小相等符号
5-13．如习题5-13图所示，把一块原来不带电的金属板B移近一块已带有属板A，平行放置。设两板面积都是S，板间距为d，d??面的感应电荷面密度和A、B两板间的电势差。
[解] (1)两带电平板导体相向面上电量大小相等符号相反，而相背面上电量相同，因此当板B不接地，电荷分布为
S，忽略边缘效应，
d
习题5-13图
B板靠近A一侧??-Q2S，远离A一侧
??ABQ/2-Q/2Q/2Q/2Q 2S因而板间电场强度为 E?Q2?0S
电势差为 UAB?Ed?Qd 2?0Sa? b 位面积上两表面之间的电势差。
5-14．如习题5-14图所示，一厚度为d的无限大均匀带电导体板，单带电量之和为?。试求离左表面的距离为a的点与离右表面的距离为b的点[解] 导体板内场强E内?0，由高斯定理可得板外场强为
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ
E??2?0
d 故A、B两点间电势差为
a?d?UAB??E?dl???dx??A0a2?0Ba0dx??a?d?ba?d???b?a? dx?2?02?05-15．半径都是R的两根无限长均匀带电直导线，其电荷线密度分别为和，两直导线平行放置，相距为d(d>>R)。试求该导体组单位长度的电容。
[解] 由高斯定理可求出，两导线之间任一点的电电场强度度为
E??? ?2??0r2??0?d?r?+?RO
-?rPE-?E?d-rRdx两导线间的电势差为
?U???d?RRE?dr??d?RRd?R??dr??drR2??0r2??0?d?r??d?Rln??0R??U?ln该导体组单位长度的电容C???0d?RR???0lndR
5-16．一电容为C的空气平行板电容器，接端电压为U的电源充电后随即断开。试求把两个极板间距增大至n倍时外力所做的功。
[解] 断开电源后Q不变，电容由原来的C??0Sd，变为C???0Snd
外力所做的功即相当于系统静电能的改变量
1W?CU2
21W??C?U?2
2由于Q不变，C?nC?，所以U??nU