发布时间 : 星期四 文章《数字信号处理》复习总结大全更新完毕开始阅读
有限长的，因此序列的富氏变换存在不能保证其DFT存在。
6．序列x(n)的DFT就是该序列的频谱。此提法是否正确？说明理由。 答：判断：不正确
简述：有限长序列的DFT是该序列在频域（单位圆上）的N点取样，而不是全部频谱。
7．一离散序列x(n)，若其Z变换X(z)存在，而且X(z)的收敛域为：Rx??z?? ，判断x(n)是否为因果序列？并简述理由。 答：判断：是
简述：由收敛域知该序列Z变换收敛域在半径为Rx-的圆的外部，故序列是右边序列；又因为收敛域包含∞点，所以该序列是因果序列。
8．.一离散系统，当其输入为x(n)时，输出为y(n)=x(n)+8，试判断该系统是否为线性系统？并简述理由。 答：判断：不是
简述：因为系统不满足叠加原理。例如：T[ax(n)]?ax(n)?8而
aT[x(n)]?a[x(n)?8]?ax(n)?a?8，即：T[ax(n)]?aT[x(n)]，不满足叠加原理。
9．离散序列x(n)为实、偶序列，试判断其频域序列X(k)的虚实性和奇偶性。 答：判断：X（k）仍为实、偶序列
简述：由DFT的共轭对称性可以证明该结论。 四、计算应用题
1．求序列x(n)=a (0<|a|<1)的Z变换和收敛域。 解：X(z)?nn????a?1?1?n?nz??anz?n
n?0?在上式中：
n????az?n?naz1? z?； 1?aza?anz?n?n?0?1 z?a
1?az?1az11?a2?1所以：X(z)? ?? a?z?a?1?11?az1?az(1?az)(1?az)
2．设有一个线性时不变因果系统，用下列差分方程描述： y(n)=y(n-1)+y(n-2)+x(n-1)
1) 求这个系统的系统函数H(z)，并指出H(z)的收敛域； 2) 求出这个系统的单位脉冲响应h(n)； 3) 判断这个系统是否为稳定系统。 解：1）对差分方程两边求Z变换，得：
（1-z-1-z-2）Y（z）=z-1X（z）
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Y(z)z?1zH(z)????X(z)1?z?1?z?2z2?z?1?z(z?1.618)(z?0.618)z(z?1?51?5)(z?) 22收敛域为：z?1.618
2）由Z反变换，对H（z）方程两边同除z，有：
H(z)AB?? ，容易求出A=0.4472；B=-0.4472 zz?1.618z?0.618zz?)，由Z反变换得： 从而可得：H(z)?0.4472(z?1.618z?0.618h(n)?0.4472[(1.618)nu(n)?(?0.618)nu(n)] 3）由线性时不变系统稳定性的充要条件
n????h(n)??知，系统为不稳定系
?统。
3．设一个N点序列x(n)的DFT为X(k)，试证明x*((-n))NRN(n)的DFT为X*(k)。 证：?x(?n)W?n?0N?1nkN??x(m)W?m?0N?1?mkNmk??[?x(m)WN]?X?(k) m?0N?14．一欲作频谱分析的模拟信号以10kHz的速率被取样，且计算了1024个取样
的DFT，试完成： (1) 说明该DFT的物理意义；
(2)求出该DFT两频率样点之间的频率间隔。 解：（1）DFT是一个有限长离散信号的信号谱的频域等间隔取样。
f10000?10Hz （2）F?s?N10245．求序列x(n)=- anu(-n-1)(|a|<1)的Z变换和收敛域。 解：
X(z)?n?????az?1n?n?1??(a?1z)n?1?n?0?11 ?1?a?1z1?az?1?z?a 收敛域：?a?1z?1 6．设有一16点序列x(0),x(1),x(2),?,x(15)，用Couley—Tukey算法做基2FFT
运算时需对输入序列进行“码位倒置”，试写出倒序方法和倒序后的序列顺序。 解：按照“码位倒置”方法，容易求得扰乱后的序列顺序为：
x(0)，x(8)，x(4)，x(12)，x(2)，x(10)，x(6)，x(14)，x(1)，x(9)，x(5)，x(13)，x(3)，x(11)，x(7)，x(15)
7．设h(n)是某线性时不变系统的单位脉冲响应，试证明对任意输入x(n)，其输
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出y(n)为：
y(n)?x(n)?h(n)?k????x(k)h(n?k)
?解：∵T[?(n)]?h(n) ∴由时不变特性，有：T[?(n?k)]?h(n?k) 而又因为对任意序列，有： x(n)? 由线性性，有：
k????x(k)?(n?k)
??y(n)?T[x(n)]?T[?x(k)?(n?k)]?k???k????T[x(k)?(n?k)]
??k????x(k)h(n?k)?x(n)?h(n)?
8．试证明：若x(n)是实偶对称的，即x(n)=x(N-n)；则其频域序列X(k)也是实偶对称的。
解：因为：DFT[x(n)]??x(n)en?0N?1?nk?j2N??x(n)[cosn?0N?12?2?nk?jsinnk] NNk=0，1，?，N-1
2?nk是关于N的奇序列，所以有：由于x（n）是关于N的实偶序列，而sinN?x(n)sinn?0N?12?nk?0 NN?1n?0亦即：DFT[x(n)]??x(n)cos又有：
2?nk为实序列； NN?12?2?2?X(N?k)??x(n)cosn(N?k)??x(n)[cos2?ncosk?sin2?nsink]NNNn?0n?0 N?12???x(n)cosnk?X(k)Nn?0N?1
9．设N点实序列x（n）=-x（N-n），X（k）=DFT[x（n）]，试证明X（k）是纯虚序列，而且满足X（k）=-X（N-k）。 解：因为：DFT[x(n)]??x(n)en?0N?1?nk?j2N??x(n)[cosn?0N?12?2?nk?jsinnk] NNk=0，1，?，N-1
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由于x（n）是关于N的奇序列，而cos2?nk是关于N的偶序列，所以有：N?x(n)cosn?0N?1n?0N?12?nk?0， N2?nk为纯虚序列； N亦即：DFT[x(n)]??j?x(n)sinX(N?k)??x(n)W又有：
n?0N?1n?0N?1n(N?k)N??x(n)Wn?0N?1n?0N?1?nkNWnNN?nk??x(n)WNn?0N?1
nk?nk? ?[?x?(n)WN]?[?x(n)WN]?X?(k)所以：X(k)?X(N?k)?j?x(n)sin?n?0N?12?n(N?k)??X(N?k) N10．设x（n）是有限长复序列，X（k）是它的DFT。 试证明DFT[x?（n）]=X?（-k）和DFT[x?（-n）]= X?（k）。 解：1）DFT[x(n)]??x(n)W??n?0N?1nkN?nk??[?x(n)WN]?X?(?k) n?0N?1DFT[x(?n)]??x(?n)W??N?1n?0nkN?nk??[?x(?n)WN]n?0N?1 2）
?(N?1)
?[m?0?x(m)Wmk?N]?X?(k)11．研究一个复序列x(n)，x(n)=xr(n)+jxi(n)，其中xr(n)和xi(n)是实序列，序列x(n)的z变换X(z)在单位圆的下半部分为零，即当????2?时，
X(ej?)?0。x(n)的实部为：
?1n?0?2 , ??1 xr(n)??? , n??2
?4其它?0 , ??试求X(ej?)的实部和虚部。
1解：因为xr(n)?[x(n)?x?(n)]
2所以有：
1Xr(ej?)?[X(ej?)?X?(e?j?)]
2由题设当????2?时， X(ej?)?0，从而有：
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