发布时间 : 星期三 文章2018年高考数学二轮专题复习(浙江版) 知能专练(十八)圆锥曲线中的热点问题 Word版 含答案更新完毕开始阅读
知能专练（十八） 圆锥曲线中的热点问题
一、选择题
―→1―→
1．(2017·河北衡水中学模拟)已知点Q在椭圆C：＋＝1上，点P满足OP＝(OF1＋
16102―→
OQ)(其中O为坐标原点，F1为椭圆C的左焦点)，则点P的轨迹为( )
A．圆 C．双曲线
B．抛物线 D．椭圆
x2y2
―→1―→―→
解析：选D 因为点P满足OP＝(OF1＋OQ)，所以点P是线段QF1的中点．设P(x，y)，
2由F1为椭圆C：＋＝1的左焦点，得F1(－6，0)，故Q(2x＋6，2y)，又点Q在椭圆C：161016
2
2
2
x2y2x2
y?2x＋6??2y?
＋＝1上，所以＋＝1，即101610
D.
6?2?
?x＋?2?y2?4
＋＝1，所以点P的轨迹是椭圆，故选
52
x2y2
2.(2017·安徽六安一中模拟)如图，已知F1，F2是椭圆Γ：2＋2
ab＝1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆Γ上任意一点，过F2作∠F1PF2的外角的角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为( )
A．直线 C．椭圆
B．圆 D．双曲线
解析：选B 延长F2Q，与F1P的延长线交于点M，连接OQ.因为
PQ是∠F1PF2的外角的角平分线，且PQ⊥F2M，所以在△PF2M中，|PF2|
＝|PM|，且Q为线段F2M的中点．又O为线段F1F2的中点，由三角形11
的中位线定理，得|OQ|＝|F1M|＝(|PF1|＋|PF2|)．根据椭圆的定义，
22
得|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|OQ|＝a，所以点Q的轨迹为以原点为圆心，半径为a的圆，故选B.
x2y2
3．已知F1，F2分别是双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的一点．若
ab|PF1|
＝8a，则双曲线的离心率的取值范围是( ) |PF2|
A．(1,2]
B．[2，＋∞) C．(1,3]
2
2
2
D．[3，＋∞)
解析：选C 设|PF2|＝y，则(y＋2a)＝8ay?(y－2a)＝0?y＝2a≥c－a?e＝≤3，又因为
cae>1，可得e的取值范围为(1,3]．
4．已知抛物线x＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为( ) 3A. 4
3
B. C．1 D．2
2
2
解析：选D 由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过A作AA1⊥l于A1，过B作BB1⊥l于B1，|AA1|＋|BB1|
设弦AB的中点为M，过M作MM1⊥l于M1.则|MM1|＝.|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线
2的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，|AA1|＋|BB1|≥6,2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故M到x轴的最短距离|MM1|min＝3－1＝2.
二、填空题
5．已知点A(－2，0)，点B(2，0)，且动点P满足|PA|－|PB|＝2，则动点P的轨迹与直线y＝k(x－2)有两个交点的充要条件为k∈________.
解析：由已知得动点P的轨迹为一双曲线的右支且2a＝2，c＝2，则b＝c－a＝1，所以
2
2
P点的轨迹方程为x2－y2＝1(x>1)，其一条渐近线方程为y＝x.若P点的轨迹与直线y＝k(x－2)
有两个交点，则需k∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)
6．已知F1，F2分别为双曲线C：－＝1的左、右焦点，P，Q为C上的点，且满足条件：
94①线段PQ的长度是虚轴长的2倍；②线段PQ经过F2，则△PQF1的周长为________．若只满足条件②，则△PQF1的周长的最小值为________．
解析：由题意得a＝3，b＝2，c＝13，|PQ|＝4b＝8.
由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝6，|QF1|－|QF2|＝6，△PQF1的周长为|PF1|＋|QF1|＋|PF2|＋|QF2|＝(|PF1|－|PF2|)＋(|QF1|－|QF2|)＋2(|PF2|＋|QF2|)＝(|PF1|－|PF2|)＋(|QF1|－|QF2|)＋2|PQ|＝6＋6＋2×8＝28.若只满足条件②，△PQF1的周长为|PF1|＋|QF1|＋|PF2|＋|QF2|＝(|PF1|－|PF2|)＋(|QF1|－|QF2|)＋2(|PF2|＋|QF2|)＝12＋2|PQ|，当PQ⊥x轴时弦|PQ|最短，令x48?13?162
＝13，则有y＝4×?－1?＝，解得y＝±，此时|PQ|＝，所以△PQF1的周长的最小值为
33?9?9852
12＋2×＝.
33
答案：28
52 3
x2y2
三、解答题
x2y21xy7．(2017·浙东北三校模拟)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点到直线＋
ab2ab＝1的距离为21
. 7
(1)求椭圆C的方程；
(2)若O为坐标原点，过点O作两条相互垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值，并求|AB|的最小值．
c1xy解：(1)由题意得椭圆的离心率e＝＝，右焦点为(c,0)，又右焦点到直线＋＝1的距离
a2ab为
21|bc－ab|21222
，所以＝，又a＝b＋c，故a＝2，b＝3，c＝1. 2277a＋b所以椭圆C的方程为＋＝1.
43
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线AB的斜率不存在时，x2＝x1，y1＝－y2，且y1＝x1，又＋＝1，解得|x1|＝43
2
2
x2y2
x2y211
12221221
＝，即点O到直线AB的距离为.当直线AB的斜率存在777
2
2
2
时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，与椭圆的方程联立消去y得(3＋4k)x＋8kmx＋4m－12＝0，8km4m－12
所以x1＋x2＝－，xx＝1222. 3＋4k3＋4k因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0，所以x1x2＋(kx1＋m)·(kx2＋m)＝0，即(k＋1)x1x2＋km(x1
4m－128km222
＋x2)＋m＝0，所以(k＋1)·2－2＋m＝0，整理得7m＝12(k＋1)，
3＋4k3＋4k2
2
2
22
2
2
所以点O到直线AB的距离为
2
|m|
2
＝k2＋1
2
12221＝. 77
因为OA⊥OB，所以|OA|＋|OB|＝|AB|≥2|OA|·|OB|，当且仅当|OA|＝|OB|时取等号． 221|AB|221421421
由·|AB|＝|OA|·|OB|≤得|AB|≥2×＝，即|AB|的最小值为.
727778．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－2，0)，B(2，0)，E为动点，且直线EA与直1
线EB的斜率之积为－.
2
(1)求动点E的轨迹C的方程；
(2)设过点F(1,0)的直线l与曲线C相交于不同的两点M，N.若点P在y轴上，且|PM|＝|PN|，求点P的纵坐标的取值范围．
1x2解：(1)设动点E的坐标为(x，y)，依题意可知·＝－，整理得＋y＝
22x＋2x－21(x≠±2)．所以动点E的轨迹C的方程为＋y＝1(x≠±2)．(2)当直线l的斜率不存在时，
2满足条件的点P的纵坐标为0.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，将y＝k(x－1)代入＋y＝1并整理得，(2k＋1)x－4kx＋2k－2＝0，Δ＝8k＋8>0.设M(x1，y1)，N(x2，
2
2
yy2
x2
2
x2
222222
4k2k－22kky2)，则x1＋x2＝2，x1x2＝2.设MN的中点为Q，则xQ＝2，yQ＝k(xQ－1)＝－2，2k＋12k＋12k＋12k＋1
222
k??2k所以点Q的坐标为?2，－2?.由题意可知k≠0，又直线MN的垂直平分线的方程为y＋
2k＋1??2k＋1
2k?1?k11
＝－?x－2?.令x＝0，解得yP＝2＝.当k>0时，因为2k＋≥22，所以2
2k＋1k?2k＋1?2k＋11k2k＋
2
k2
k0 122 ＝2211，当且仅当k＝时等号成立；当k<0时，因为2k＋≤－22，所以0>yP≥－42k22 ＝－2222?? ，当且仅当k＝－时等号成立．综上所述，点P的纵坐标的取值范围是?－，?. 424??4 2 9.(2017·杭州模拟)已知抛物线C：x＝2py(p>0)，直线l： y＝x＋1与抛物线C交于A，B两点，设直线OA，OB的斜率分别 1为k1，k2(其中O为坐标原点)，且k1·k2＝－. 4 (1)求p的值； (2)如图，已知点M(x0，y0)为圆：x＋y－y＝0上异于O点的动点，过点M的直线m交抛物线C于E，F两点．若M为线段EF的中点，求|EF|的最大值． 解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将y＝x＋1代入抛物线C：x＝2py，得x－2px－2p＝0，则x1x2＝－2p.所以k1·k2＝·＝ 2 2 2 2 y1y2x1x2－11 ＝－，所以p＝2. 2＝ x1x24p2p4 2 2 (2)设E(x3，y3)，F(x4，y4)，直线m：y＝k(x－x0)＋y0，与抛物线C：x＝4y联立，得x－4kx＋4kx0－4y0＝0，(*) 1222 则x3＋x4＝4k＝2x0，所以k＝x0.此时(*)式为x－2x0x＋2x0－4y0＝0，所以x3·x4＝2x0－4y0. 2所以|EF|＝1＋k·|x3－x4|＝1＋k·?x3＋x4?－4x3x4＝ ?4＋x0?·?4y0－x0?.又x0＋y0－y0＝0，所以|EF|＝ 222 2 2221＋· 4 2x20 16y0－4x0＝ 22?4＋y0－y0?·?3y0＋y0? 2 2 22 ?4＋y0－y0＝3y0＋y0，??4＋y0－y0?＋?3y0＋y0? ≤＝2＋2y0≤4(y0≤1)，当且仅当? 2??y0＝1， 即y0＝1 时取等号．所以|EF|的最大值为4. 三、解答题 x2y2 10．(2017·宁波模拟)已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)经过点P(－2,0)与点(1,1)． ab(1)求椭圆的方程； (2)过P点作两条互相垂直的直线PA，PB，交椭圆于A，B. ①证明：直线AB经过定点；